【正文】 “十字相乘法”分解二次三項(xiàng)式的知識(shí)，可以判定給出的二元二次六項(xiàng)式6x2+mxy4y2x+17y15中劃波浪線的三項(xiàng)應(yīng)當(dāng)這樣分解：3x 52x +3現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作然后根據(jù)4y2，17y這兩項(xiàng)式，即可斷定是：由于(3x+4y5)(2xy+3)=6x2+5xy4y2x+17y15就是原六項(xiàng)式，所以m=5．5．設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)是a1，a，a+1，則它們的平方和是(a1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，顯然，這個(gè)和被3除時(shí)必得余數(shù)2．另一方面，自然數(shù)被3除時(shí)，余數(shù)只能是0或1或2，于是它們可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然數(shù)）中的一個(gè)，但是它們的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除時(shí)，余數(shù)要么是0，要么是1，不能是2，所以三個(gè)連續(xù)自然數(shù)平方和不是某個(gè)自然數(shù)的平方．三、解答題1．設(shè)兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時(shí)即回返，留下返程需的x桶汽油，將多余的(242x)桶汽油給乙．讓乙繼續(xù)前行，這時(shí)，乙有(242x)+(24x)=483x桶汽油，依題意，應(yīng)當(dāng)有483x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙繼續(xù)前行的路程是這個(gè)結(jié)果中的代數(shù)式30(484x)表明，當(dāng)x的值愈小時(shí)，代數(shù)式的值愈大，因?yàn)閤≥8，所以當(dāng)x=8時(shí)，得最大值30(4840+bmc3 D. .5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數(shù)解，這個(gè)方程的不同的整數(shù)解共有 ( )A．2組． B．6組．C．12組． D．16組．二、填空題（每題1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．對(duì)于任意有理數(shù)x，y，定義一種運(yùn)算*，規(guī)定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），則m的數(shù)值是______．3．新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個(gè)房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個(gè)門，但不知道每把鑰匙是開哪一個(gè)門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉著的20個(gè)房間，他最多要試開______次．4．當(dāng)m=______時(shí)，二元二次六項(xiàng)式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的二元一次三項(xiàng)式的乘積．5．三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某個(gè)自然數(shù)的平方．三、解答題（寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共15分）1．兩輛汽車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進(jìn)60公里，兩車都必須返回出發(fā)地點(diǎn)，但是可以不同時(shí)返回，兩車相互可借用對(duì)方的油．為了使其中一輛車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)地點(diǎn)，另一輛車應(yīng)當(dāng)在離出發(fā)地點(diǎn)多少公里的地方返回？離出發(fā)地點(diǎn)最遠(yuǎn)的那輛車一共行駛了多少公里？2．如圖2，紙上畫了四個(gè)大小一樣的圓，圓心分別是A，B，C，D，直線m通過A，B，直線n通過C，D，用S表示一個(gè)圓的面積，如果四個(gè)圓在紙上蓋住的總面積是5(S－1)，直線m，n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積S1，S2，S3滿足關(guān)系式S3=S1=S2,求S． .答案與提示一、選擇題1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．設(shè)前年的生產(chǎn)總值是m，則去年的生產(chǎn)總值是前年比去年少這個(gè)產(chǎn)值差占去年的應(yīng)選D．2．從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：再?gòu)囊冶钩鯽毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是 ①乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是 ②∵①=②∴選C．∴x－25=(10n+2+5)2可知應(yīng)當(dāng)選C．4．由所給出的數(shù)軸表示（如圖3）：可以看出∴①＜②＜③，∴選C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以變形為(2x+3y)(x+y)=1 B.?！跋Ｍ比珖?guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（第123屆）初一年級(jí)/七年級(jí)第一/二試題目 錄（1990年）初中一年級(jí)第一試試題 003005（1990年）初中一年級(jí)第二試試題 010012（1991年）初中一年級(jí)第一試試題 017020（1991年）初中一年級(jí)第二試試題 023026（1992年）初中一年級(jí)第一試試題 031032（1992年）初中一年級(jí)第二試試題 037040（1993年）初中一年級(jí)第一試試題 047050（1993年）初中一年級(jí)第二試試題 055058（1994年）初中一年級(jí)第一試試題 063066（1994年）初中一年級(jí)第二試試題 070073（1995年）初中一年級(jí)第一試試題 07708012希望杯第六屆（1995年）初中一年級(jí)第二試試題 084087（1996年）初中一年級(jí)第一試試題 095098（1996年）初中一年級(jí)第二試試題 102105（1997年）初中一年級(jí)第一試試題 110113（1997年）初中一年級(jí)第二試試題 117120（1998年）初中一年級(jí)第一試試題 126129（1998年）初中一年級(jí)第二試試題 135138（1999年）初中一年級(jí)第二試試題 144147（1999年）初中一年級(jí)第一試試題 148151（2000年）初中一年級(jí)第一試試題 158161（2000年）初中一年級(jí)第二試試題 166169（2001年）初中一年級(jí)第一試試題 170174（2001年）初中一年級(jí)第二試試題 175178（2002年）初中一年級(jí)第一試試題 181184（2001年）初中一年級(jí)第二試試題 185189（2003年）初中一年級(jí)第一試試題 192196（2003年）初中一年級(jí)第二試試題 197200（2004年）初中一年級(jí)第一試試題 203207（2004年）初中一年級(jí)第二試試題 208211（2005年）初中一年級(jí)第一試試題 213218（2005年）初中一年級(jí)第二試試題 219225（2006年）初中一年級(jí)第一試試題 228233（2006年）初中一年級(jí)第二試試題 234238（2007年）初中一年級(jí)第一試試題 242246（2007年）初中一年級(jí)第二試試題 248251（2008年）初中一年級(jí)第一試試題 252256（2008年）初中一年級(jí)第二試試題 257262（2009年）初中一年級(jí)第一試試題 263266（2009年）初中一年級(jí)第二試試題 267271（2010年）初中一年級(jí)第一試試題 274276（2011年）初中一年級(jí)第二試試題 285288（2012年）初中一年級(jí)第二試試題 288301希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第1試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1．如果a，b都代表有理數(shù)，并且a＋b=0，那么 ( )A．a(chǎn)，b都是0． B．a(chǎn)，b之一是0．C．a(chǎn)，b互為相反數(shù)．D．a(chǎn)，b互為倒數(shù)．2．下面的說法中正確的是 ( )A．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式．B．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式．C．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式．D．整式與整式的和是整式．3．下面說法中不正確的是 ( )A. 有最小的自然數(shù)． B．沒有最小的正有理數(shù)．C．沒有最大的負(fù)整數(shù)． D．沒有最大的非負(fù)數(shù)．4．如果a，b代表有理數(shù)，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a(chǎn)，b同號(hào)． B．a(chǎn)，b異號(hào)．C．a(chǎn)＞0． D．b＞0．5．大于－π并且不是自然數(shù)的整數(shù)有 ( )A．2個(gè)． B．3個(gè)．C．4個(gè)． D．無數(shù)個(gè)．6．有四種說法：甲．正數(shù)的平方不一定大于它本身；乙．正數(shù)的立方不一定大于它本身；丙．負(fù)數(shù)的平方不一定大于它本身；丁．負(fù)數(shù)的立方不一定大于它本身．這四種說法中，不正確的說法的個(gè)數(shù)是 ( )A．0個(gè)． B．1個(gè)．C．2個(gè)． D．3個(gè)．7．a(chǎn)代表有理數(shù)，那么，a和－a的大小關(guān)系是 ( )A．a(chǎn)大于－a．B．a(chǎn)小于－a．C．a(chǎn)大于－a或a小于－a．D．a(chǎn)不一定大于－a．8．在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊( )A．乘以同一個(gè)數(shù)．B．乘以同一個(gè)整式．C．加上同一個(gè)代數(shù)式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%，第三天又較第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是( )A．一樣多． B．多了．C．少了． D．多少都可能．10．輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么，當(dāng)這條河的水流速度增大時(shí)，船往返一次所用的時(shí)間將( )A．增多． B．減少．C．不變． D．增多、減少都有可能．二、填空題（每題1分，共10分）1. ______．2．198919902－198919892=______．3.=________.4. 關(guān)于x的方程的解是_________.5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．=時(shí),代數(shù)式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____．7．當(dāng)a=－，b=，代數(shù)式的值是______.8．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽水的重是______克．,工作效率提高了,那么完成這批零件的一半，一共需要______天．10．現(xiàn)在4點(diǎn)5分，再過______分鐘，分針和時(shí)針第一次重合．答案與提示一、選擇題1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，滿足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是單項(xiàng)式．兩個(gè)單項(xiàng)式x3，x2之和為x3+x2是多項(xiàng)式，排除A．兩個(gè)單項(xiàng)式x2，2x2之和為3x2是單項(xiàng)式，排除B．兩個(gè)多項(xiàng)式x3+x2與x3－x2之和為2x3是個(gè)單項(xiàng)式，排除C，因此選D．3．1是最小的自然數(shù)，A正確．可以找到正所以C“沒有最大的負(fù)整數(shù)”的說法不正確．寫出擴(kuò)大自然數(shù)列，0，1，2，3，…，n，…，易知無最大非負(fù)數(shù)，D正確．所以不正確的說法應(yīng)選C．5．在數(shù)軸上容易看出：在－π右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有－3，－2，－1，0共4個(gè)．選C．6．由12=1，13=1可知甲、乙兩種說法是正確的．由(－1)3=－1，可知丁也是正確的說法．而負(fù)數(shù)的平方均為正數(shù)，即負(fù)數(shù)的平方一定大于它本身，所以“負(fù)數(shù)平方不一定大于它本身”的說法不正確．即丙不正確．在甲、乙、丙、丁四個(gè)說法中，只有丙1個(gè)說法不正確．所以選B．7．令a=0，馬上可以排除A、B、C，應(yīng)選D．8．對(duì)方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)．所以排除A．我們考察方程x－2=0，易知其根為x=2．若該方程兩邊同乘以一個(gè)整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，排除B．若在方程x－2=0兩邊加上同一個(gè)代數(shù)式去了原方程x=2的根．所以應(yīng)排除C．事實(shí)上方程兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，新方程與原方程同解，對(duì)D，這里所加常數(shù)為1，因此選D．9．設(shè)杯中原有水量為a，依題意可得，第二天杯中水量為a(1－10%)=；第三天杯中水量為()(1+10%)=a；第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C．10．設(shè)兩碼頭之間距離為s，船在靜水中速度為a，水速為v0，則往返一次所用時(shí)間為設(shè)河水速度增大后為v，(v＞v0)則往返一次所用時(shí)間為由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用時(shí)間將增多，選A．二、填空題提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)(19891990－19891989)=(19891990+19891989)1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：當(dāng)a=－，b=，a2－b=(－)2－=0，b+a+=－+=0．8．食鹽30%的鹽水60千克中含鹽6030%（千克）設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克，此時(shí)，6030%=()40%解得：x=45000（克）．10．在4時(shí)整，時(shí)針與分針針夾角為120176。即希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第2試試題一、選擇題（每題1分，共5分）以下每個(gè)題目里給出的A，B，C，D四個(gè)結(jié)論中有且僅有一個(gè)是正確的．請(qǐng)你在括號(hào)填上你認(rèn)為是正確的那個(gè)結(jié)論的英文字母代號(hào)．1