數(shù)學(xué)分析第四章-多元函數(shù)微分學(xué)-展示頁
2025-07-31 16:21本頁面
【正文】 .則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記作。（注：其它多元函數(shù)與二元函數(shù)相似）。5) 有限覆蓋定理. 設(shè)為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了（即），則在中必存在有限個(gè)開域，它們同樣覆蓋了（即）。.1) 點(diǎn)列收斂定義：設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定點(diǎn)。4）閉域. 開域連同其邊界所成的點(diǎn)集稱為閉域。2）閉集. 若平面點(diǎn)集的所有聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集。5) 孤立點(diǎn). 若點(diǎn)，但不是的聚點(diǎn)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)集的孤立點(diǎn)。3) 界點(diǎn)（邊界點(diǎn)）. 若在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)既含有屬于得的點(diǎn)，又含有不屬于的點(diǎn)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)集的界點(diǎn)。第四章 多元函數(shù)微分學(xué)一、本章知識脈絡(luò)框圖極 限連 續(xù)重極限與累次極限基本概念有 界 性極限存在的判別方法極值和最值基本性質(zhì)極限與連續(xù)介 值 性 偏 導(dǎo) 數(shù)可 微 性概念可微和連續(xù)可微的必要條件可微的充分條件復(fù)合函數(shù)微分隱函數(shù)微分計(jì) 算參數(shù)方程微分多元函數(shù)微分學(xué)全微分（三元為例）df=fxdx+fydy+fzdz條件極值應(yīng) 用高階導(dǎo)數(shù)與微分多元極值切線、法線、法平面、切平面泰勒公式 二、本章重點(diǎn)及難點(diǎn) 本章需要重點(diǎn)掌握以下幾個(gè)方面內(nèi)容：l 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式.l 隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換.l 幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線.l 極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法. 本章的基本知識要點(diǎn)(一)平面點(diǎn)集與多元函數(shù).1) 內(nèi)點(diǎn). 若存在點(diǎn)的某鄰域，使得，則稱點(diǎn)是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)。2) 外點(diǎn). 若存在點(diǎn)的某鄰域，使得，則稱點(diǎn)是點(diǎn)集的外點(diǎn)。4) 聚點(diǎn). 若在點(diǎn)的任何空心鄰域內(nèi)部都含有中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)集的聚點(diǎn)。2. 幾種特殊的平面點(diǎn)集. 1) 開集. 若平面點(diǎn)集所屬的每一點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集。 3) 開域. 若非空開集具有連通性，即中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于得有限折線相連接，則稱為開域。5）區(qū)域. 開域、閉域或者開域連同某一部分界點(diǎn)所成的點(diǎn)集，統(tǒng)稱為區(qū)域。若對任給的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱點(diǎn)列收斂于點(diǎn)，記作 或 . 2）點(diǎn)列收斂定理（柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切自然數(shù)，都有. 3）閉區(qū)域定理. 設(shè)是中的閉域列，它滿足：(i) (ii) .則存在唯一的點(diǎn).4) 聚點(diǎn)定理. 設(shè)為有界無限點(diǎn)集，則在中至少有一個(gè)聚點(diǎn)。4. 二元函數(shù)定義：設(shè)平面點(diǎn)集，若按照某對應(yīng)法則，中每一
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