高三數(shù)學(xué)分類討論思想-展示頁(yè)
2024-11-21 08:49本頁(yè)面
【正文】 根據(jù)公式、定理、性質(zhì)的條件分類討論 例 2 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ，前 n 項(xiàng)和 Sn 0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ． ( 1 ) 求 q 的取值范圍； ( 2 ) 設(shè) bn＝ an ＋ 2－32an ＋ 1，記 { bn} 的前 n 項(xiàng)和為 Tn，試比較 Sn與 Tn的大?。? 思維啟迪 ( 1 ) 根據(jù)條件列出關(guān)于 q 的不等式，注意分類討論． ( 2 ) 能否判斷 { b n } 為特殊數(shù)列進(jìn)而求和作差、作商比較大?。? 解 ( 1 ) ∵ { an} 是等比數(shù)列， Sn0 ，可得 a1＝ S10 ， q ≠ 0 ， 當(dāng) q ＝ 1 時(shí)， Sn＝ na10 ； 當(dāng) q ≠ 1 時(shí)， Sn＝a1( 1 － qn)1 － q0 ， 即1 － qn1 － q0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ， 上 式等價(jià)于 ①????? 1 － q 01 － qn0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) 或 ②????? 1 － q 01 － qn0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ，解 ① 式得 q 1 ； 解 ② 式，由于 n 可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，故－ 1 q 1 . 綜上， q 的取值范圍是 ( － 1 , 0 ) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ． ( 2 ) 由 bn＝ an ＋ 2－32an ＋ 1，得 bn＝ an????????q2－32q ， Tn＝????????q2－32q Sn， 于是 Tn－ Sn＝ Sn????????q2－32q － 1 ＝ Sn????????q ＋12( q － 2) ． 又因?yàn)?Sn0 且－ 1 q 0 或 q 0 ，所以 當(dāng)－ 1 q －12或 q 2 時(shí)， Tn－ Sn0 ，即 Tn Sn； 當(dāng)－12 q 2 且 q ≠ 0 時(shí)， Tn－ Sn0 ，即 Tn Sn； 當(dāng) q ＝－12或 q ＝ 2 時(shí)， Tn－ Sn＝ 0 ，即 Tn＝ Sn. 探究提高 本題以等比數(shù)列為載體，涉及了分類討論和大小比較的問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，應(yīng)用了不等式的解法和比較大小的基本方法 —— 作差比較法．同時(shí)含有字母 q ，一般要進(jìn)行分類討論，要特別注意等比數(shù)列求和公式在應(yīng)用時(shí)一定要分 q ＝ 1 和 q ≠ 1 討論 . 變式訓(xùn)練 2 已知在等比數(shù)列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， S n 是其前 n 項(xiàng)的和，且 a k ＋ 1 ， a k ＋ 3 ， a k ＋ 2 ( k ∈ N ) 成等差數(shù)列． ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 的公比； ( 2 ) 試判斷 S k ＋ 1 ， S k ＋ 3 ， S k ＋ 2 ( k ∈ N ) 是否也構(gòu)成等差數(shù)列，說(shuō)明理由． 解 ( 1 ) 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ( q ≠ 0) ， 則 ak ＋ 1＝ qk， ak ＋ 3＝ qk ＋ 2， ak ＋ 2＝ qk ＋ 1. 依題意得 2 qk ＋ 2＝ qk＋ qk ＋ 1，由于 qk≠ 0 ， 所以 2 q2－ q － 1 ＝ 0 ，解得 q ＝ 1 或 q ＝－12. ( 2 ) 當(dāng) q ＝ 1 時(shí)， Sk ＋ 1＝ ( k ＋ 1) a1＝ k ＋ 1 ， Sk ＋ 3＝ k ＋ 3 ， Sk ＋ 2＝ k ＋ 2 ， 顯然 Sk ＋ 1＋ Sk ＋ 2＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ＝ 2 k ＋ 3 ≠ 2 Sk ＋ 3， 故 Sk ＋ 1， Sk ＋ 3， Sk ＋ 2不能構(gòu)成等差數(shù)列； 當(dāng) q ＝－12時(shí)， Sk ＋ 1＝1 －????????－12k ＋ 11 －????????－12＝23????????1 －????????－12k ＋ 1， 同理可得 Sk ＋ 2＝23????????1 －????????－12k ＋ 2， Sk ＋ 3＝23????????1 －????????－12k ＋ 3，于是 Sk ＋ 1＋ Sk ＋ 2＝23????????1 －????????－12k ＋ 1＋23????????1 －????????－12k ＋ 2 ＝23????????2 －????????－12k ＋ 1－????????－12k ＋ 2＝43????????1 －????????－12k ＋ 3＝ 2 Sk ＋ 3， 所以 S k ＋ 1 ， S k ＋ 3 ， S k ＋ 2 能構(gòu)成等差數(shù)列． 綜上所述：當(dāng) q ＝ 1 時(shí)， S k ＋ 1 ， S k ＋ 3 ， S k ＋ 2 不能構(gòu)成等差數(shù)列； 當(dāng) q
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