【正文】 m≤M）正品（記為A）：（1） n件是同時(shí)取出的；（2） n件是無(wú)放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1） P（A）=(2) 由于是無(wú)放回逐件取出，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為種，故P（A）=由于無(wú)放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫(xiě)成P（A）=可以看出，用第二種方法簡(jiǎn)便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對(duì)于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取得次品，每次都有NM種取法，共有（NM）nm種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11..12. 50只鉚釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件上，？【解】設(shè)A={發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱}13.一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.【解】 設(shè)Ai={恰有i個(gè)白球}（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 14.有甲、乙兩批種子，在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：（1） 兩粒都發(fā)芽的概率；（2） 至少有一粒發(fā)芽的概率；（3） 恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，（i=1,2）(1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1） 問(wèn)正好在第6次停止的概率；（2） 問(wèn)正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1） (2) 16.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.【解】 設(shè)Ai={甲進(jìn)i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,則 =17．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】 18.，,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A={下雨}，B={下雪}.（1） （2） 19.已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設(shè)A={其中一個(gè)為女孩}，B={至少有一個(gè)男孩}，樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.20.已知5%%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問(wèn)此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式 21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率. 題21圖 題22圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0≤x,y≤“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于|xy|.22.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1） 兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；（2） 兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y，則0x,y1.（1） x+y. (2) xy=. 23.設(shè)P（）=,P(B)=,P(A)=，求P（B｜A∪）【解】 24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai={第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}，i=0,1,2,={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問(wèn)：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=，P（）=，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=，P（|）=，故由貝葉斯公式知（1） %(2) %.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來(lái)，接收站收到時(shí)，∶，試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊颍嚽笙渥又性幸话浊虻母怕剩ㄏ渲性惺裁辞蚴堑瓤赡艿念伾挥泻?、白兩種）【解】設(shè)Ai={箱中原有i個(gè)白球}（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,={抽出一球?yàn)榘浊騷.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得 29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類(lèi)：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，,；如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A={該客戶是“謹(jǐn)慎的”}，B={該客戶是“一般的”}，C={該客戶是“冒失的”}，D={該客戶在一年內(nèi)出了事故}則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、,，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來(lái)的零件的次品率.【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. 31.，?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.即為 故 n≥11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨(dú)立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，,，若只有一人擊中，；若有兩人擊中，；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A={飛機(jī)被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機(jī)}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(++)+(++)+=35.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無(wú)效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過(guò)試驗(yàn)被否定的概率.（2） 新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機(jī)開(kāi)始時(shí)有6位乘客，：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開(kāi)”；（2） B=“沒(méi)有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開(kāi)”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開(kāi)”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開(kāi)”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開(kāi)，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個(gè)人在十層中任意六層離開(kāi)，故（3） 由于沒(méi)有規(guī)定在哪一層離開(kāi)，故可在十層中的任一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開(kāi)，因此可包含以下三種離開(kāi)方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開(kāi)，另一人在其余8層中任一層離開(kāi)，共有種可能結(jié)果；②4人同時(shí)離開(kāi)，有種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故37. n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長(zhǎng)分別為x,y,0xa,0ya,0axya所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39. 某人有n把鑰匙，（抽樣是無(wú)放回的）.證明試開(kāi)k次（k=1,2,…,n）才能把門(mén)打開(kāi)的概率與k無(wú)關(guān).【證】 ，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3. 在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，（除去八個(gè)角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有128=，原立方體的六個(gè)面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有886=（8+96+384）=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無(wú)色的，故所求概率為,.，B，C，試證P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).【證】 42.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】 設(shè)={杯中球的最大個(gè)數(shù)為i},i=1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對(duì)稱(chēng)性知P（A）=P（B）（1） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反乙反）由對(duì)稱(chēng)性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有 同理由 得 故 ，有k(k≥n).【解】 設(shè)Ai={第i節(jié)車(chē)廂是空的}，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n節(jié)車(chē)廂全空的概率是零，于是 故所求概率為，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε：不論ε0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}B={這只硬幣為正品}由題知 則由貝葉斯公式知 （Banach）火柴盒問(wèn)題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以BB2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說(shuō)明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱(chēng)性（