【正文】 中位線定理；梯形。△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；（2）如圖2，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論．21．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．22．如圖，路燈（P點）距地面8米，（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？23．陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案．（1）所需的測量工具是：　_________　；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x．24．問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進(jìn)行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm．丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點M．請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）25．陽光通過窗口照射到室內(nèi)，（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=，窗口高AB=，求窗口底邊離地面的高BC．26．如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2．27．如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3．（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用SSS3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比（1），（2），（3）的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論．28．已知：如圖，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如圖Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的長；（2）過B作BE⊥DC于E，求BE的長．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3：10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長．參考答案與試題解析1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．考點：相似三角形的判定；平行線的性質(zhì)。BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動．若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與△CBA相似？19．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90176。CE⊥BD于E，連接AE．（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求△BEC與△BEA的面積之比．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論．12．已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，M是CD的中點，試說明：△ADM∽△MCP．13．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運(yùn)動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運(yùn)動，過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)目的地時整個運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．問：①當(dāng)點P在B?A上運(yùn)動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；②在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；③在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．14．已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動的兩點．若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與△BDC相似？15．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．16．如圖，∠ACB=∠ADC=90176。BC=　_________??；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．8．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運(yùn)動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運(yùn)動，問：（1）經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形．（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明．10．如圖△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45176。相似三角形1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G．（1）求證：△CDF∽△BGF；（2）當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EF∥CD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長．3．如圖，點D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．4．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD．5．已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．（1）求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180176。其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．6．如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F．在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明．7．如圖，在43的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=　_________　176。∠BDC=60176。AC=，AD=2．問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似．17．已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．18．如圖在△ABC中，∠C=90176。AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似．2