拋物線典型例題12例含標(biāo)準(zhǔn)答案解析-展示頁(yè)
2025-07-03 21:23本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn)，求證：．分析：此題證的是距離問(wèn)題，如果把它們用兩點(diǎn)間的距離表示出來(lái)，其計(jì)算量是很大的．我們可以用拋物線的定義，巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識(shí)，把結(jié)論證明出來(lái)．證法一：，若過(guò)F的直線即線段所在直線斜率不存在時(shí)，則有,．若線段所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則此直線為：，且設(shè)．由得： ① ②根據(jù)拋物線定義有：則請(qǐng)將①②代入并化簡(jiǎn)得：證法二：如圖所示，設(shè)、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線l上的射影分別是、且不妨設(shè)，又設(shè)點(diǎn)在、上的射影分別是A、B點(diǎn)，由拋物線定義知，又∽，即故原命題成立．典型例題七例7 設(shè)拋物線方程為，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為，求證：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為．分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問(wèn)題．證法一：拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：由方程組消去y得：設(shè)，則又即證法二：如圖所示，分別作、垂直于準(zhǔn)線l．由拋物線定義有：于是可得出：故原命題成立．典型例題八例8 已知圓錐曲線C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），對(duì)應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)8，且直線AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，求（1）AB的傾斜角的取值范圍．（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程．分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋
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