概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案下-展示頁
2025-07-03 20:46本頁面
【正文】 從而同理而 所以.從而 （X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY.【解】 從而同理 又 故 （X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X 2Y和Z2=2X Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 ，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0，即 故=1/，出現(xiàn)故障時(shí)自動關(guān)機(jī)，（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機(jī)后無故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間X~E(λ),E(X)==5.依題意Y=min(X,2).對于y0,f(y)=P{Y≤y}=0.對于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.對于0≤y2,當(dāng)x≥0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為P{X≤x}=1 e λx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 e y/5.、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 （毫米）服從正態(tài)分布N（μ,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑μ取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？ 【解】 故得 兩邊取對數(shù)有解得 (毫米)由此可得，當(dāng)u=，平均利潤最大.f(x)=對X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 及,所以,從而，每臺無故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知：因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t0時(shí)，fT(t)=0。（2） E（X）。μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.（X，Y）的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P0(3) 于是U=min(X,Y)0123P(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P0，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；（2） 設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1） (2) =1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）. XYy1 y2 y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即： 又即從而同理 又,故.同理從而故YX1(λ0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0p1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) ，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨(dú)立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}.解：因?yàn)殡S即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有 因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以推得 .26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為XY 1 0 1 101a 0 b 0 c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)= ,P{Y≤0|X≤0}=，記Z=X+：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+=1 即 a+b+c = .由，可得.再由 ,得 .解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得.(2) Z的可能取值為2，1，0，1，2，，，即Z的概率分布為
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