【正文】 11 , 1 ,2( ) , 0 1 ,20 , .Zzzzf z z? ?????? ? ??????其 他 故 21 , 1,21( ) , 0 1,20 , .Zzzf z z? ????? ? ??????其 他 （以小時計）近似地服從 N（ 160， 202）分布 .隨機地選取 4 只，求其中沒有一只壽命小于 180 的概率 . 【解】 設這四只壽命為 Xi(i=1,2,3,4)，則 Xi~N（ 160， 202）， 從而 1 2 3 4 1 2{m in ( , , , ) 1 8 0 } { 1 8 0 } { 1 8 0 }iP X X X X X P X P X? ? ?之 間 獨 立 34{ 180 } { 180 }P X P X?? 1 2 3 4[ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }]P X P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? 4414418 0 16 0[ 1 { 18 0 }] 120[ 1 ( 1 ) ] ( 58 ) 00 63 .PX ? ? ???? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? X， Y 是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為 P{X=k}=p（ k）， k=0， 1， 2， … ， P{Y=r}=q（ r）， r=0， 1， 2， …. 證明隨機變量 Z=X+Y 的分布律為 P{Z=i}=?? ?ik kiqkp0 )()(， i=0， 1， 2， …. 【證明】 因 X 和 Y 所有可能值都是非負整數， 所以 { } { }Z i X Y i? ? ? ? { 0 , } { 1 , 1 } { , 0 }X Y i X Y i X i Y? ? ? ? ? ? ? ? 于是 0{ } { , } ,ikP Z i P X k Y i k X Y?? ? ? ? ?? 相 互 獨 立0 { } { }ik P X k P Y i k? ? ? ?? 0 ( ) ( )ik p k q i k???? X， Y 是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數為 n， p 的二項分布 .證明 Z=X+Y 服從參數為 2n， p 的二項分布 . 【證明】 方法一： X+Y 可能取值為 0， 1， 2， … ， 2n. 0{ } { , }kiP X Y k P X i Y k i?? ? ? ? ? ?? 00202( ) { }2kiki n i k i n k iikk n kik n kP X i P Y k innp q p qi k innpqi k inpqk?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ???? ??????? 方法二：設 μ1,μ2,…, μn。習題三 ，以 X 表示在三次中出現正面的次數，以 Y 表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值 .試寫出 X 和 Y的聯合分布律 . 【解】 X 和 Y 的聯合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 13 1 1 1 3C 2 2 2 8? ? ? 23 111C 3 / 8222? ? ? 0 3 18 0 0 1 1 1 12 2 2 8? ? ? 3 只黑球、 2 只紅球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以X 表示取到黑球的只數，以 Y 表示取到紅球的只數 .求 X 和 Y 的聯合分布律 . 【解】 X 和 Y 的聯合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 223247CC 3C 35? 313247CC 2C 35? 1 0 1 1 23 2 247C C C 6C 35? 2 1 13 2 247CCC 12C 35? 313247CC 2C 35? 2 P(0 黑 ,2 紅 ,2白 )= 2 2 42 2 7 1C C / C 35? 1 2 13 2 247C C C 6C 35? 223247CC 3C 35? 0 （ X， Y）的聯合分布函數為 F（ x， y） =????? ????.,0 20,20,s i ns i n其他ππ yxyx 求 二 維 隨 機 變 量 （ X ， Y ） 在 長 方 形 域?????? ???? 36,40 πππ yx內的概率 . 【解】 如圖 π π π{ 0 , } ( 3 .2 )4 6 3P X Y? ? ? ? 公 式 π π π π π π( , ) ( , ) ( 0 , ) ( 0 , )4 3 4 6 3 6F F F F? ? ? π π π π π πsin sin sin sin sin 0 sin sin 0 sin4 3 4 6 3 62 ( 3 1 ) .4? ? ? ??? 題 3 圖 說明：也可先求出密度函數，再求概率。 （ X， Y）的分布密度 f（ x， y） =??? ???? .,0 ,0,0,)43( 其他yxA yxe 求：（ 1） 常數 A； （ 2） 隨機變量（ X， Y）的分布函數； （ 3） P{0≤X1， 0≤Y2}. 【 解 】 （ 1 ） 由 ( 3 4 )00( , ) d d e d d 112xy Af x y x y A x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 得 A=12 （ 2） 由定義，有 ( , ) ( , ) d dyxF x y f u v u v?? ??? ?? ( 3 4 ) 3400 12e d d ( 1 e ) ( 1 e ) 0 , 0 ,0,0,yy uv xyuv yx?? ??? ? ? ? ? ?????? ??? ?? 其 他 (3) { 0 1, 0 2}P X Y? ? ? ? 12 ( 3 4 ) 3 800{ 0 1 , 0 2 }12 e d d ( 1 e ) ( 1 e ) 0. 94 99 .xyP X Yxy? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? （ X， Y）的概率密度為 X Y X Y f（ x， y） =??? ?????? .,0 ,42,20),6( 其他 yxyxk （ 1） 確定常數 k； （ 2） 求 P{X＜ 1， Y＜ 3}； （ 3） 求 P{X}； （ 4） 求 P{X+Y≤4}. 【解】 （ 1） 由性質有 2402( , ) d d ( 6 ) d d 8 1 ,f x y x y k x y y x k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 故 18R? （ 2） 13{ 1 , 3 } ( , ) d dP X Y f x y y x? ? ? ?? ? ? ?? 1302 ( 6 ) d d88k x y y x? ? ? ??? (3) 11 . 5{ 1 . 5 } ( , ) d d a ( , ) d dxDP X f x y x y f x y x y??? ?? ??如 圖 1 .5 402 1 2 7d ( 6 ) d .8 3 2x x y y? ? ? ??? (4) 24{ 4 } ( , ) d d ( , ) d dX Y DP X Y f x y x y f x y x y??? ? ? ?? ??如 圖 b 2402 12d ( 6 ) d .83xx x y y?? ? ? ??? 題 5 圖 X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量， X 在（ 0， ）上服從均勻分布， Y 的密度函數為 fY（ y） =??? ?? .,0 ,0,5 5 其他 yye 求：（ 1） X 與 Y 的聯合分布密度；（ 2） P{Y≤X}. 題 6 圖 【解】 （ 1） 因 X 在（ 0， ）上服從均勻分布，所以 X 的密度函數為 1 , 0 ,() 0, .Xxfx ? ???? ??? 其 他 而 55 e , 0 ,()0 , .yY yfy?? ?? ?? 其 他 所以 ( , ) , ( ) ( )XYf x y X Y f x f y獨 立 5 51 5e 25 e , 0 0 ,0,0,y y xy? ?? ?? ? ? ?????? ???且其 他 . (2) 5( ) ( , ) d d 2 5 e d dyy x DP Y X f x y x y x y???? ?? ??如 圖 0 .2 0 .2 5 50 0 01d 25e d ( 5 e 5 ) d=e 79.x yxx y x?? ? ? ??? ? ? （ X， Y）的聯合分布函 數為 F（ x， y） =??? ???? ?? .,0 ,0,0),1)(1( 24 其他 yxyx ee 求（ X， Y）的聯合分布密度 . 【解】( 4 2 )2 8 e , 0 , 0 ,( , )( , )0,xy xyF x yf x yxy??? ????? ??? ? 其 他 . （ X， Y）的概率密度為 f（ x， y） = 4 .8 ( 2 ) , 0 1 , 0 ,0 , .y x x y x? ? ? ? ???? 其 他 求邊緣概率密度 . 【解】 ( ) ( , )dXf x f x y y????? ? x 20 ( 2 ) d ( 2 ) , 0 1 ,= 0 , .0, y x y x x x? ?? ? ? ?? ?????? ? 其 他 ( ) ( , )dYf y f x y x????? ? 1 2y ( 2 ) d ( 3 4 ) , 0 1 ,= 0 , .0,y x x y y y y? ? ? ? ? ? ?? ??????? 其 他 題 8 圖 題 9 圖 （ X， Y）的概率密度為 f（ x， y） =??? ??? .,0 ,0, 其他e yxy 求邊緣概率密度 . 【解】 ( ) ( , )dXf x f x y y????? ? ed e , 0 ,=0 , .0,y xx y x?? ? ?? ? ????????? 其 他 ( ) ( , )dYf y f x y x????? ? 0 ed e , 0 ,=0 , .0,y y xx yy? ?? ? ????????? 其 他 題 10 圖 （ X， Y）的概率密度為 f（ x， y） =??? ?? .,0 ,1, 22 其他 yxycx （ 1） 試確定常數 c； （ 2） 求邊緣概率密度 . 【解】 （ 1） ( , ) d d ( , ) d dDf x y x y f x y x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ??如 圖 211 21 4= d d 1 .21xx c x y y c???? 得 214c? . (2) ( ) ( , )dXf x f x y y????? ? 21 242 2121 ( 1 ) , 1 1 ,d840, 0 , .x x x xx y y?? ? ? ? ????????