【正文】 ； ； ； 。（）微分方程具有 形式的特解.（）設(shè)，則_________。（）計(jì)算廣義積分= 。于是 1求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)1由確定，求.　解：設(shè)，則 ， ， ， (3分) (6分)1用拉格朗日乘數(shù)法求在條件下的極值.　解： 令,得,為極小值點(diǎn). (3分)故在下的極小值點(diǎn)為,極小值為 (6分)1計(jì)算.解： (6分)計(jì)算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.解：＝＝ (6分)1解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)1判別級數(shù)的斂散性.解： (3分) 因?yàn)? 1將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分,銷售收入(萬元)與電臺廣告費(fèi)用(萬元)的及報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬元)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗(yàn)公式:，求最優(yōu)廣告策略 解：公司利潤為令即得駐點(diǎn),而 (3分),所以最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費(fèi)用(萬元),報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)2設(shè)，證明：.證：2若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設(shè)知與都收斂,則收斂,從而收斂。浙江大學(xué)20072008學(xué)年春季學(xué)期《微積分Ⅱ》課程期末考試試卷一 、填空題（每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上）（1,－1, 2）到平面的距離d = .,則 .，,則= .[0，1]上連續(xù)，且＞, 與為常數(shù).,則= .，交換二次積分次序 .二 、選擇題（每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，把所選字母填入題后的括號內(nèi)）:與直線l2:的夾角為（A） . （B） . （C） . （D） . [ ]，極坐標(biāo)系中的二次積分可以寫成直角坐標(biāo)中的二次積分為（A） （B）（C） （D） [ ]＜ 為的以2為周期的余弦級數(shù)，則（A）. （B）. （C）. （D）. [ ]（A）偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不連續(xù) （B）偏導(dǎo)數(shù)不存在，函數(shù)連續(xù)（C）偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)連續(xù) （D）偏導(dǎo)數(shù)不存在，函數(shù)不連續(xù) [ ]三、解答題 10.（本題滿分10分）求曲線L：在其上點(diǎn)M（1，－1，2）處的切線方程與法平面方程.11.（本題滿分10分）設(shè)F可微，z是由F(,確定的可微函數(shù)，并設(shè)，求. 12.（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線與直線圍成的兩塊有界閉區(qū)域的并集，求.13.（本題滿分10分）求空間曲線L：上的點(diǎn)到平面的距離最大值與最小值.14.（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D=，計(jì)算二重積分.15.（本題滿分5分）設(shè)當(dāng)y＞0時(shí)可微，且已知. 求.浙江大學(xué)2007－2008學(xué)年春季學(xué)期《微積分II》課程期末考試試卷答案一、填空題（每小題5分，共25分）1．.2．.3．4．， .5． 或 或 .二、選擇題（每小題5分，共20分）6．選（B）. l1的方向向量，l2的方向向量，.7．選（D）. 積分區(qū)域，化成直角坐標(biāo)后故知選（D）.8．選（C）. .9．選（A）. ，偏導(dǎo)數(shù)存在. 取，隨k而異，所以不連續(xù)．三、解答題（10～14每題10分，15題5分，共55分）10．由L，視x為自變量，有以代入并解出，得，所以切線方程為，法平面方程為，即.11．.12．D在第一象限中的一塊記為D1，D在第三象限中的一塊記為D2，.所以，原式.13．L上的點(diǎn)到平面的距離為，它的最大值點(diǎn)，最小值點(diǎn)與的一致，用拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)，求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零有：， ， ．解之得兩組解. 所以當(dāng)時(shí)，最??；當(dāng)時(shí)，最大.14．將分成如圖的兩塊，的圓記為D1，另一塊記為D2+ 15．由，有，從而知，又由，推知，所以，.注：若用湊的辦法亦可：所以，．．浙江大學(xué)2006–2007學(xué)年春季學(xué)期《 微積分Ⅱ 》課程期末考試試卷開課學(xué)院： 理學(xué)院 考試形式：閉卷 考試時(shí)間： 年 月 日 所需時(shí)間：120 分鐘考生姓名： _____學(xué)號： 專業(yè)： ________題序一二三四五六七總 分得分評卷人一、 填空題（每小題5分，滿分30分）1． 直線在平面上的投影直線方程為 .2． 數(shù)量場在點(diǎn)的梯度為 函數(shù)在P點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)為 .3． 設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 . 4． 設(shè)，則.5． 已知曲面與橢球面在第一卦限內(nèi)相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，公共切平面方程為.6． 設(shè)函數(shù)，其中，則二、 （滿分10分）求直線 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.三、 （滿分10分）計(jì)算.四、 (滿分15分)已知由方程確定，試求.五、 （滿分15分）設(shè)平面為曲線上的點(diǎn) 到平面的距離，求的最大，最小值 .六、 (滿分15分)如圖是一塊密度為（常數(shù)）的薄板的平面圖形（在一個(gè)半徑為R的半圓直 徑上拼上一個(gè)矩形，矩形的另一邊為h）,已知平面圖形的形心位于原點(diǎn)(0, 0). 試求：1. 長度 h；. 七、 (滿分5分) 求證:當(dāng)時(shí)，成立不等式 .參考解答：一．1．； 2. ； 3. ； 4. 5. 6. .二．直線： 曲面上點(diǎn)直線上點(diǎn) 則旋轉(zhuǎn)曲面方程：三． 四． 五． 最小距離：，最大距離：六．形心： 即 七．設(shè) 且對固定的， 當(dāng)當(dāng) 所以，取得最小值且為0，則 ，即 已知,則_____________.已知,則___________.函數(shù)在點(diǎn)取得極值.已知,則________.以(為任意常數(shù))為通解的微分方程是____________________.6 知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是(　 　c　 ).(A) (B) (C) (D) 7 數(shù)在原點(diǎn)間斷,是因?yàn)樵摵瘮?shù)(　 b　　 ).(A) 在原點(diǎn)無定義 (B) 在原點(diǎn)二重極限不存在 (C) 在原點(diǎn)有二重極限,但無定義(D) 在原點(diǎn)二重極限存在,但不等于函數(shù)值若,則下列關(guān)系式成立的是(　 　 a). (A) (B) (C) (D) 方程具有特解(　　d　 ). (A) (B) (C) (D) 設(shè)收斂，則(　　d　 ).(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發(fā)散 (D) 不定一、填空題(每小題3分,共15分). . . 1. .1求由,：的函數(shù)為。且時(shí)。 (6分)設(shè)，則_____________.已知，則＝___________.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值，則常數(shù)已知,則________以(為任意常數(shù))為通解的微分方程是__________________.已知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 對于函數(shù),點(diǎn)( ).(A) 不是駐點(diǎn) (B) 是駐點(diǎn)而非極值點(diǎn) (C) 是極大值點(diǎn) (D) 是極小值已知,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 級數(shù)收斂，則級數(shù)( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發(fā)散 (D) 斂散性不定1求,所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.1求二重極限. 1設(shè),求.1用拉格朗日乘數(shù)法求在滿足條件下的極值.1計(jì)算.1計(jì)算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.1解微分方程.1判別級數(shù)的斂散性.1將函數(shù)展開成的冪級數(shù).某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,單位售價(jià)分別為40元和60元,若生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品,生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品的總費(fèi)用為,試求出甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí)該工廠取得最大利潤.2設(shè),證明.2若與都收斂,則收斂.（可能會有錯(cuò)誤大家一定要自己核對）一、填空題(每小題3分,共15分)設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則 。（）設(shè)，則 。（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)的值為 （ A ） 和存在是函數(shù)在點(diǎn)可微的 （ A ）。由曲面和及柱面所圍的體積是 （D?。?。 A.； B.； C.； D.無窮級數(shù)(為任意實(shí)數(shù)) （D）A、收斂 B、絕對收斂 C、發(fā)散 D、無法判斷 三、計(jì)算題(每小題6分,共60分)求下列極限：。解： …（4分） …（6分）求由所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：，則， 求駐點(diǎn)，解方程組得和. …（2分）對有，于是，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且 …（4分）對有，于是， 不是函數(shù)的極值點(diǎn)。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導(dǎo)得：即 …（2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： =