利用壓縮變換解決競賽與自主招生中的橢圓問題-展示頁
2025-06-16 17:30本頁面
【正文】 到平面，于是橢圓還原成圓，如圖12。利用壓縮變換解決競賽與自主招生中的橢圓問題張曉東（桐鄉(xiāng)市高級(jí)中學(xué) 浙江桐鄉(xiāng) 314500）橢圓是到兩定點(diǎn)距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡，是到定點(diǎn)與定直線（定點(diǎn)不在定直線上）距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，是到兩定點(diǎn)斜率之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡． 而在壓縮變換視角下，橢圓是壓扁了的圓，利用這個(gè)角度，有時(shí)可以快捷的解題并看到問題的本質(zhì)．定義壓縮變換：平面上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫狡矫妫@然在壓縮變換下，平面上的圓就壓縮為平面上的橢圓，于是我們可以利用圓的幾何性質(zhì)和壓縮變換的性質(zhì)來研究橢圓，通常研究三類問題．一．研究橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系．在壓縮變換下，平面上點(diǎn)與原來平面上對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即．圖11例1.（2009清華大學(xué)自主招生）如圖11，已知橢圓，過橢圓左頂點(diǎn)的直線與橢圓交于，與軸交于，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于。求證：成等比數(shù)列。圖12因?yàn)?，所以，?所以，即，所以于是成等比數(shù)列①設(shè)，由圓冪定理，又=,
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