【正文】 為模的剩余類，從每類中各取出一個(gè)元素，可得模的完全剩余系（剩余類派出的一個(gè)代表團(tuán)），稱為模的非負(fù)最小完全剩余系.通過數(shù)字奇偶性質(zhì)的分析而獲得解題重大進(jìn)展的技巧，常稱作奇偶分析，這種技巧與分類、染色、數(shù)字化都有聯(lián)系，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有廣泛的應(yīng)用． 　 關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的簡(jiǎn)單性質(zhì)： （1）奇數(shù)偶數(shù)．（2）偶數(shù)的個(gè)位上是0、8；奇數(shù)的個(gè)位上是9．（3）奇數(shù)與偶數(shù)是相間排列的；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；．　?。?）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；偶數(shù)跟奇數(shù)的和是奇數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)． （5）除2外所有的正偶數(shù)均為合數(shù)；（6）相鄰偶數(shù)的最大公約數(shù)為2，最小公倍數(shù)為它們乘積的一半．（7）偶數(shù)乘以任何整數(shù)的積為偶數(shù)．（8）兩數(shù)和與兩數(shù)差有相同的奇偶性，．（9）乘積為奇數(shù)的充分必要條件是各個(gè)因數(shù)為奇數(shù)．（10）個(gè)偶數(shù)的積是的倍數(shù)．（11）的充分必要條件是為偶數(shù)，的充分必要條件是為奇數(shù)．（12）．（13）任何整數(shù)都可以表示為．……例1 （1906，匈牙利）假設(shè)是的某種排列，證明：如果是奇數(shù)，則乘積 是偶數(shù)．解法1 （反證法）假設(shè)為奇數(shù)，則均為奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)奇數(shù)=，這與“奇數(shù)偶數(shù)”矛盾． 所以是偶數(shù)． 評(píng)析 這個(gè)解法說明不為偶數(shù)是不行的，但沒有指出為偶數(shù)的真正原因．體現(xiàn)了整體處理的優(yōu)點(diǎn)，但掩蓋了“乘積”為偶數(shù)的實(shí)質(zhì)．解法2 （反證法）假設(shè)為奇數(shù)，則均為奇數(shù)，與的奇偶性相反，中奇數(shù)與偶數(shù)一樣多，為偶數(shù)．但已知條件為奇數(shù)，矛盾． 所以是偶數(shù)．評(píng)析 這個(gè)解法揭示了為偶數(shù)的原因是“為奇數(shù)”．那么為什么“為奇數(shù)”時(shí)“乘積”就為偶數(shù)呢？解法3 中有個(gè)奇數(shù)，放到個(gè)括號(hào)，必有兩個(gè)奇數(shù)在同一個(gè)括號(hào)，這兩個(gè)奇數(shù)的差為偶數(shù)，得為偶數(shù)．評(píng)析 這個(gè)解法揭示了為偶數(shù)的原因是“當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中奇數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)不等，奇數(shù)多，某個(gè)括號(hào)必是兩個(gè)奇數(shù)的差，為偶數(shù)”．類似題： 例11（1986，英國(guó)）設(shè)是整數(shù)，是它們的一個(gè)排列，證明是偶數(shù)．（中奇數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)不等） 例12 的前24位數(shù)字為，記為該24個(gè)數(shù)字的任一排列，求證必為偶數(shù)．（暗藏中奇數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)不等）例2 能否從中選出個(gè)數(shù)填入圖的圓圈中，使得每?jī)蓚€(gè)有線相連的圈中的數(shù)相減（大數(shù)減小數(shù)），所得的14個(gè)差恰好為？解 考慮14個(gè)差的和，一方面為奇數(shù)．另一方面，每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差與其和有相同的奇偶性 ，因此，14個(gè)差的和的奇偶性與14個(gè)相應(yīng)數(shù)之和的和的奇偶性相同，由于圖中的每一個(gè)數(shù)與2個(gè)或4個(gè)圈中的數(shù)相加，對(duì)的貢獻(xiàn)為或，從而為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾，所以不能按要求給圖中的圓圈填數(shù)．評(píng)析：用了計(jì)算兩次的技巧．對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象，當(dāng)用兩種不同的方式將整體分為部分時(shí)，則按兩種不同方式所求得的總和應(yīng)是相等的，這叫計(jì)算兩次原理成富比尼原理．計(jì)算兩次可以建立左右兩邊關(guān)系不太明顯的恒等式．在反證法中，計(jì)算兩次又可用來構(gòu)成矛盾．例3 有一大筐蘋果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到這樣的兩堆，其蘋果數(shù)之和與梨數(shù)之和都是偶數(shù)，問最少要把這些蘋果和梨分成幾堆？解 （1）4堆是不能保證的．如4堆的奇偶性為：（反例） （奇奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）．（2）5堆是可以保證． 因?yàn)樘O果和梨數(shù)的奇偶性有且只有上述4種可能，當(dāng)把這些蘋果和梨分成5堆時(shí)，必有2堆屬于同一奇偶性，其和蘋果數(shù)與梨數(shù)都是偶數(shù)．例4 有個(gè)數(shù)，它們中的每一個(gè)要么是，要么是．若，求證．證明 由，有，再由，知個(gè)中有一半是，有一半是，必為偶數(shù)，設(shè)．現(xiàn)把個(gè)相乘，有 ，可見，為偶數(shù)，設(shè)，有，得證． 例5 個(gè)整數(shù)，其積為，其和為0，試證．證明 先證為偶數(shù)，若不然，由知，全為奇數(shù)，其和必為奇數(shù)，與其和為0（偶數(shù)），故必為偶數(shù)．（中至少有1個(gè)偶數(shù)）再證為4的倍數(shù)，若不然，由為偶數(shù)知，恰有一個(gè)為偶數(shù)，其余個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和必為奇數(shù)，加上一個(gè)偶數(shù)，總和為奇數(shù)，與之和為0矛盾，所以，為4的倍數(shù)，．（中至少有2個(gè)偶數(shù)）評(píng)析 要證，只須證中至少有2個(gè)偶數(shù)，分兩步，第一步證至少有1個(gè)偶數(shù)，第二步證至少有2個(gè)偶數(shù)．例6 在數(shù)軸上給定兩點(diǎn)1和，在區(qū)間內(nèi)任取個(gè)點(diǎn)，在此個(gè)點(diǎn)中，每相鄰兩點(diǎn)連一線段，可得條互不重疊的線段，證明在此條線段中，以一個(gè)有理點(diǎn)和一個(gè)無理點(diǎn)為端點(diǎn)的線段恰有奇數(shù)條．證明 將個(gè)點(diǎn)按從小到大的順序記為，并在每一點(diǎn)賦予數(shù)值，使與此同時(shí)，每條線段也可數(shù)字化為（乘法）記的線段有條，一方面另一方面 ，得，故為奇數(shù)．評(píng)析 用了數(shù)字化、奇偶分析的技巧．二、約數(shù)與倍數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法．（1）短除法．（2）分解質(zhì)因數(shù)法．設(shè)，．記 ，則 ， ．（3）輾轉(zhuǎn)相除法 ．例7 （1）求，；（2），．解（1）方法1 分解質(zhì)因數(shù)法．由得 ，．方法2 輾轉(zhuǎn)相除法． 或 或 ． ．（2）方法1 短除法．由得 ，．方法2 分解質(zhì)因數(shù)法．由　　　　，得 ，．例8 正整數(shù)分別除以得到的余數(shù)依次為，則的最小值為 ．解 依題意，對(duì)最小的，則是的公倍數(shù)，得．例9 有兩個(gè)容器，一個(gè)容量為27升，一個(gè)容量為15升，如何利用它們從一桶油中倒出6升油來？解 相當(dāng)于求不定方程的整數(shù)解．由知，存在整數(shù)，使，可得一個(gè)解，從而方程 ．即往小容器里倒2次油，每次倒?jié)M之后就向大容器里倒，大容器倒?jié)M時(shí)，小容器里剩有3升油；再重復(fù)一次，可得6升．例10 對(duì)每一個(gè)，求證存在個(gè)互不相同的正整數(shù)，使，對(duì)任意的成立． 證明 用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)時(shí)，取，命題顯然成立． 假設(shè)時(shí)，命題成立，即存在，使 ，對(duì)任意的成立． 現(xiàn)取為及它們每?jī)蓚€(gè)數(shù)之差的最小公倍數(shù)，則個(gè)數(shù) 滿足 即命題對(duì)時(shí)成立．由數(shù)學(xué)歸納法知命題對(duì)成立． 例11 證明對(duì)任意正整數(shù)，分?jǐn)?shù)不可約．證明1 （反證法）假若可約，則存在， ①使 ，從而存在，使消去，得 ， ④的 ． ⑤由（1）、（5）矛盾，得．解題分析：（1）去掉反證法的假設(shè)與矛盾就是一個(gè)正面證法．（2）式④是實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，表明 ，可見 ．由此獲得2個(gè)解法．證明2 設(shè)．存在，使消去，②3①2，得 ③得 ．證明3 由得 ．證明4 ④ ⑤ ． 解題分析：第④ 相當(dāng)于 ①②；第⑤ 相當(dāng)于②2（①②）=②3①2；所以③式與⑤式的效果是一樣的．例12 不存在這樣的多項(xiàng)式 ，使得對(duì)任意的正整數(shù)，都是素?cái)?shù)．證明　假設(shè)存在這樣的多項(xiàng)式,對(duì)任意的正整數(shù)，都是素?cái)?shù)，則取正整數(shù)，有素?cái)?shù)使 ，進(jìn)而對(duì)任意的整數(shù)有 （二項(xiàng)式定理展開），其中為整數(shù)，這表明為合數(shù)．這一矛盾說明，不存在這樣的多項(xiàng)式,對(duì)任意的正整數(shù)，都是素?cái)?shù)．三、平方數(shù)若是整數(shù)，則就叫做的完全平方數(shù)，簡(jiǎn)稱平方數(shù)．1．平方數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只有6個(gè)：．（2）平方數(shù)的末兩位數(shù)只有22個(gè)：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89． （3）．（４）．（6）凡是不能被3整除的數(shù)，平方后被3除余1．（7）在兩個(gè)相鄰整數(shù)的平方數(shù)之間，不能再有平方數(shù)．（8）非零平方數(shù)的約數(shù)有奇數(shù)個(gè)．（9）直角三角形的三邊均為整數(shù)時(shí)，我們把滿足的整數(shù)叫做勾股數(shù)．勾股數(shù)的公式為 其中為正整數(shù)，且一奇一偶．這個(gè)公式可給出全部素勾股數(shù)．2．平方數(shù)的證明方法（1）反證法．（2）恒等變形法．（3）分解法．設(shè)為平方數(shù)，且，則均為平方數(shù)．（4）約數(shù)法．證明該數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)．3．非平方數(shù)的判別方法（1）若，則不是平方數(shù)．（2）約數(shù)有偶數(shù)個(gè)的數(shù)不是平方數(shù)．（3）個(gè)位數(shù)為2，3，7，8的數(shù)不是平方數(shù)．（4）同余法：滿足下式的數(shù)都不是平方數(shù)．， ， ， ，．