【正文】 關(guān)系，與圓拓?fù)渫瑯?gòu)。三種序關(guān)系，分別代表三種不同的幾何。在同一構(gòu)造空間里，滿足非自反性、反/非對(duì)稱性、傳遞性的幾何關(guān)系，通常稱為序關(guān)系滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性的幾何關(guān)系，是一種等價(jià)關(guān)系，滿足非自反性、反/非對(duì)稱性、傳遞性的幾何關(guān)系，是一種弱/強(qiáng)序。以上公理的邏輯關(guān)系是：沒有關(guān)聯(lián)公理、順序/分隔公理，就沒有合同公理，也就不存在自反性、對(duì)稱性及傳遞性；自反性、對(duì)稱性，以非自反、反/非對(duì)稱的存在為前提。 同樣，由順序/分隔公理，可定義出：④反對(duì)稱：AB=BA； ⑤非對(duì)稱：AB185。對(duì)兩個(gè)幾何體K、K’，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換F，可以由K’得到K，并且保持K、K’共有的特征性質(zhì)不變。若A,B為L(zhǎng)上的點(diǎn)，A’是L’上的點(diǎn)，則在L’上A’的一側(cè)，恰有點(diǎn)B’，使得AB=A’B’；若AB=A’B’, A”B”=A’B’，則AB=A”B”；若B在A,C之間，B’在A’,C’之間，并且有AB=A’B’,BC=B’C’，則AC=A’C’。：若A,B,C為直線上任意三點(diǎn)，存在D，A,B點(diǎn)分隔C,D；若A,B分隔C,D，則B,A分隔C,D，C,D分隔A,B；共線四點(diǎn)A,B,C,D，則A,B分隔C,D，A,C分隔B,D，A,D分隔B,C，三種關(guān)系恰有一種關(guān)系成立；若A,B分隔C,D，A,D分隔B,E，A,B則分隔C,E。若C在A,B之間，則A,B,C三點(diǎn)共線，且C在B,A之間；對(duì)于A,B兩點(diǎn)，至少存在點(diǎn)C，使C在A,B之間；在共線三點(diǎn)中，至多有一點(diǎn)在其余兩點(diǎn)之間。過(guò)A,B兩點(diǎn)，有且至多有一直線L；直線上至少有二點(diǎn)，又至少有三點(diǎn)不在同一直線上；過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)A,B,C，必有且至多有一平面S；每一平面上至少有三點(diǎn)；如果直線的兩點(diǎn)在平面S上，則該直線的每一點(diǎn)都在S上。所以黎氏意義下的直線是封閉的。關(guān)聯(lián)公理 公理中的“點(diǎn)”應(yīng)分別理解成“歐氏點(diǎn)，羅氏點(diǎn)，黎氏點(diǎn)”，“線”為“歐氏線，羅氏線，黎氏線”，“面”亦為“歐氏面，羅氏面，黎氏面”。它的等價(jià)描述是，△內(nèi)角和大于π。它的等價(jià)描述是，△內(nèi)角和小于π。羅氏第Ⅳ公設(shè)：過(guò)直線L外一點(diǎn)A，至少有兩條直線與L共面而不相交。過(guò)直線L外一點(diǎn)A，至多可作一條直線與L不相交。 按希爾伯特()的劃分，幾何公理的組成如下：幾何公理結(jié)構(gòu)幾何公理歐氏幾何羅氏幾何黎氏幾何公理Ⅰ關(guān)聯(lián)公理關(guān)聯(lián)公理關(guān)聯(lián)公理公理Ⅱ順序公理順序公理分隔公理公理Ⅲ合同公理合同公理運(yùn)動(dòng)合同公理公理Ⅳ歐氏Ⅳ公設(shè)羅氏Ⅳ公設(shè)黎氏Ⅳ公設(shè)公理Ⅴ連續(xù)公理連續(xù)公理連續(xù)公理歐氏幾何和羅氏幾何的區(qū)別，是第Ⅳ公設(shè)；而黎氏幾何與歐氏、羅氏幾何的區(qū)別，除了第Ⅳ公設(shè)外，還得加上一個(gè)在關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)上的分隔公理。，幾何公理的構(gòu)成本節(jié)的五組公理，但所表達(dá)的事實(shí)基本一致。比如，歐氏幾何的“相空間”是“平直的”；非歐幾何的“相空間”是“彎曲的”。聯(lián)系數(shù)、形公理的橋梁，是坐標(biāo)空間、相函數(shù)。其思想推動(dòng)了坐標(biāo)解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。數(shù)的公理，有Peano數(shù)公理、代數(shù)公理；形的公理，則有歐氏幾何和非歐幾何（羅巴切夫斯基幾何，黎曼幾何）。同一“猜想”，在不同的公理?xiàng)l件下，結(jié)論會(huì)有很大不同。該方法的邏輯特點(diǎn)是：如果“猜想命題”不與公理相悖，那么該“猜想”就有可能是對(duì)的；反之，如果“猜想”與公理相悖，那么該“猜想”就一定是錯(cuò)誤的。這里的“推導(dǎo)”是一種嚴(yán)格的證明，其依據(jù)，只能是初始命題或已由它們證明了的命題，除了邏輯規(guī)定外，不得依賴其他任何東西。1，公理化方法與幾何公理，公理化方法所謂的公理化方法，也叫演繹推理方法。本文的第一部分，是公理化方法的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備；第二部分，是阿羅證明的邏輯討論；第三部分，是我們對(duì)效用空間的一個(gè)幾何猜想；第四部分，從等效角度證明效用的空間是非歐的；第五部分，用變分法證明效用的傳遞是封閉的，以及我們對(duì)“獨(dú)裁”的解釋；第六、七部分，是本文研究的一個(gè)延伸，即如何求“Edgeworth盒”上的契約曲線及無(wú)差異函數(shù)?！安豢赡芏ɡ怼痹跉W氏條件下成立，但在非歐條件卻可能不成立！而且，現(xiàn)實(shí)的空間幾何，非歐幾何也要比歐氏幾何合理。經(jīng)過(guò)分析，我們發(fā)現(xiàn)，“傳遞性公理”，其實(shí)與一條歐氏定理“AB,BC,那么一定AC” 等價(jià)；或者在某種意義上說(shuō)，阿羅公理其實(shí)就是一個(gè)歐氏公理；阿羅證明實(shí)質(zhì)上要求，效用的公理必須是歐幾里德形的，阿羅證明也只在歐氏條件下才會(huì)成立。但“投票悖論”是怎樣產(chǎn)生出來(lái)的呢？它源自阿羅假設(shè)中的“傳遞性公理”，它的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)是“A優(yōu)于B,B優(yōu)于C,那么一定A優(yōu)于C”。他們的“弱化”方案是：僅要求“優(yōu)于關(guān)系”具有“傳遞性”，而不考慮其“無(wú)差異關(guān)系”是否具有“傳遞性”；或者是：不再要求所得到的集體選擇規(guī)則具有自反、傳遞、和連通的性質(zhì)，而只是要求集體選擇規(guī)則是擬傳遞的或者非循環(huán)的，將“完全理性”改成“相對(duì)理性”。許多人選擇重新構(gòu)造公理來(lái)論證效用函數(shù)的存在性。而“投票悖論”又與阿羅公理相矛盾。第二，是因?yàn)?“投票悖論”的問題。我們總結(jié)了前人的經(jīng)驗(yàn)。但是傳遞性會(huì)導(dǎo)致“投票悖論”；所以，我們認(rèn)為：Debreu等人的結(jié)論，還不能從根本上否定“Arrow不可能定理”。許多人試圖否定阿羅的結(jié)論，但都沒有成功 Debreu等人證明了：定義在商品空間Rl 的非負(fù)卦限Rl+上的偏好關(guān)系?，如果滿足完全性、自反性、傳遞性、連續(xù)性和強(qiáng)單調(diào)性，則存在表達(dá)這個(gè)偏好關(guān)系的效用函數(shù)u: Rl →Rl+。再如在政治上搞“兩黨制”。這個(gè)定理給從那以后的經(jīng)濟(jì)學(xué)，帶來(lái)了極大的困難 甚至產(chǎn)生了對(duì)市場(chǎng)機(jī)制的歪曲。關(guān)鍵詞：效用函數(shù)，非歐空間，阿羅不可能定理，契約曲線，無(wú)差異函數(shù)，猜想模型　　　　　　　　　　　　　　　引言1951年，阿羅(Arrow,)發(fā)表并證明了著名的“不可能性定理”。本文給出了效用函數(shù)在空間里的一個(gè)猜想模型，并證明了這種可能性。華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，武漢，430074 摘要：本文討論了“阿羅不可能定理”的邏輯問題。 關(guān)于效用函數(shù)及阿羅不可能定理的一個(gè)猜想唐躍志研究領(lǐng)域：統(tǒng)計(jì)學(xué)，數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)；39。：(027)62589359；Email：tangyz_hust；聯(lián)系地址：武漢市華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院；郵政編碼：430074。同時(shí)指出，如果將效用函數(shù)放在非歐空間里考察，則“投票悖論”可以解決。以及如何利用模型，求“Edgeworth 盒”的契約曲線及無(wú)差異函數(shù)。阿羅用公理化方法和5個(gè)著名的公理證明了，經(jīng)濟(jì)學(xué)上的效用函數(shù)(utility function)是不存在的。比如認(rèn)為，既然市場(chǎng)解決不了市場(chǎng)的問題，所以應(yīng)該由政府“獨(dú)裁”，由政府在市場(chǎng)之上搞宏觀調(diào)控?！ebreu本人也因此獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。并注意到阿羅證明成立的關(guān)鍵，是以下二個(gè)原因：第一，是因?yàn)楣砘椒ㄓ腥缦逻壿嫞喝绻安孪搿辈慌c公理相悖，那么該“猜想”就有可能是對(duì)的；反之，如果“猜想”與公理相悖，那么該“猜想”就一定是錯(cuò)誤的。因?yàn)?，“投票悖論”是由效用函?shù)導(dǎo)出的。所以，效用函數(shù)在阿羅公理?xiàng)l件下不存在 由于阿羅公理與“投票悖論”存在矛盾。如Sen(1977,1979,1986,1992,1996)，Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人從 “弱化”Arrow “完全理性” 假設(shè)的角度，來(lái)建立社會(huì)選擇機(jī)制。但是這種“弱化”，并沒有從根本上擺脫不可能結(jié)論，相反還產(chǎn)生新的“不可能性”問題?！巴镀便Ｕ摗惫砘椒ā皞鬟f性公理”“A優(yōu)于B,B優(yōu)于C,那么A必定優(yōu)于C”效用函數(shù)不存在!圖0－1 “Arrow不可能定理”的內(nèi)在邏輯關(guān)系由此可見，在阿羅的證明中，“投票悖論”是一個(gè)非常重要的因素。因此， “傳遞性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果證明在“傳遞性假設(shè)”上出了問題，那么“不可能定理”就不會(huì)再成立。但問題是，現(xiàn)實(shí)的效用體系是否就一定是歐氏幾何形的呢？或者說(shuō)，選擇的公理是否就是要求，“如果A優(yōu)于B,B優(yōu)于C，就一定必須有A優(yōu)于C!”？如果換成非歐幾何， “阿羅定理”在非歐條件“AB,BC,不一定AC”下還會(huì)成立嗎？！基于非歐幾何的知識(shí)，我們知道，答案是否定的。因此，聯(lián)系到公理化方法的邏輯，我們有一個(gè)基本猜測(cè)：現(xiàn)實(shí)的效用的分析幾何，也許應(yīng)該是非歐幾何，而不應(yīng)是歐幾里德幾何！在此問題上，阿羅可能把問題的因果關(guān)系弄顛倒了，“不可能性定理”并不是經(jīng)濟(jì)學(xué)的“有效”定理！而且我們還發(fā)現(xiàn)，“投票悖論”可以在非歐條件下得到印證。 　　　　　167。它是從一些初始概念（不定義的概念）和一些初始命題（不證明的命題、公理）出發(fā)，按一定的邏輯規(guī)則，定義出所需要的概念，推導(dǎo)出所需的命題（定理）來(lái)。它是數(shù)學(xué)上構(gòu)建嚴(yán)格數(shù)理體系的基本方法。因此，“猜想”的正確與否，與公理的構(gòu)成有很大關(guān)系。數(shù)學(xué)上最基礎(chǔ)的公理，是數(shù)的公理與形的公理。任何公理，按笛卡爾()的思想，現(xiàn)在被歸納為關(guān)系映射反演原則。由坐標(biāo)、相函數(shù)支撐起來(lái)的“相空間”，包含了該公理應(yīng)具有的一切性質(zhì)。阿羅公理作為一個(gè)代數(shù)公理，應(yīng)與形的公理同態(tài)同構(gòu)。本文側(cè)重于其點(diǎn)、線、面的公理表達(dá)。關(guān)于第Ⅳ公設(shè)，是眾所周知的：歐氏第Ⅳ公設(shè)：又稱平行公理。它的等價(jià)描述是，△內(nèi)角和等于π。它是歐氏平行公理的矛盾命題。 黎氏第Ⅳ公設(shè)：過(guò)直線L外一點(diǎn)A的所有直線，都與L相交。對(duì)于其它公理，了解它們是必要的。并且規(guī)定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圓作“黎氏直線”，“點(diǎn)”在大圓上，且球面上的對(duì)徑點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)，則關(guān)聯(lián)公理就是黎氏關(guān)聯(lián)公理。：也叫結(jié)合(從屬)公理。SSBD圖1－1 順序公理與分隔公理黎氏分隔公理ACBACBCAACB歐氏/羅氏順序公理順序公理：也稱次序公理。分隔公理 “直線”上每一點(diǎn)都在平面S內(nèi)，都具有相同的“面序”；在“直線” 上諸點(diǎn)的 “面序”都相同的基礎(chǔ)上，比較該“直線”上諸點(diǎn)的序關(guān)系，是平面上順序公理與分隔公理成立的前提條件。合同公理：也叫全合 (全等)公理。 運(yùn)動(dòng)合同公理：也叫等效公理。圖1－2 運(yùn)動(dòng)合同過(guò)程K’→KBA0FA’0’B’由合同或者運(yùn)動(dòng)合同公理，可導(dǎo)出：① 自反性：AB=BA；②對(duì)稱性：若AB=A’B’， 則A’B’=AB；③傳遞性：若AB=A’B’,A’B’=A”B”，則AB=A”B”。BA。決定非自反、反/非對(duì)稱的因素，是關(guān)聯(lián)公理和順序/分隔公理。序有點(diǎn)序、線序、面序之分。三種不同的公理，構(gòu)造了三種不同的序。開放的序，代表歐氏或者羅氏幾何 對(duì)于開放的點(diǎn)序，如果其線空間是平直的，則代表歐氏幾何；如果其線空間是彎曲的，則代表羅氏幾何。而圓的內(nèi)稟幾何就是黎氏幾何。不同的幾何，將導(dǎo)致不同的幾何定理。而在黎氏條件下，由分隔公理，有非對(duì)稱AB≠BA或者反對(duì)稱AB=BA，如果是反對(duì)稱AB=BA，則CB,AC，一定有AB；如果是非對(duì)稱AB≠BA，則CB,AC，