63二元一次不等式組資料與簡單的線性規(guī)劃問題-展示頁
2025-05-22 18:41本頁面
【正文】 z的最大值．[自主解答] 由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示．由z＝4x－3y，得y＝x－.求z＝4x－3y的最大值，相當(dāng)于求直線y＝x－在y軸上的截距－的最小值．平移直線y＝x知，當(dāng)直線y＝x－過點(diǎn)B時(shí)，－最小，z最大．由解得B(5,2)．故zmax＝45－32＝14.保持例題條件不變，如何解決下列問題．(1)設(shè)z＝，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍．解：(1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝.(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，由解得C(1,1)．dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29. ———————————————————目標(biāo)函數(shù)最值問題分析(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得．(2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)．(3)對目標(biāo)函數(shù)不是一次函數(shù)的問題，常考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如① 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)之間的距離； 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離．②表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．這些代數(shù)式的幾何意義能使所求代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：作出x，y滿足的可行域，如圖中陰影部分所示，則z在點(diǎn)A處取得最大值，在點(diǎn)C處取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.答案：[－1,1]線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用[例3] (2012牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)不等式x－2y＋60表示的區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的( )A．右上方 B．右下方C．左上方 D．左下方解析：選C 畫出圖形如圖所示，可知該區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的左上方．2．(教材習(xí)題改編)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的( )解析：選C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或3．如圖所示，陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示的是( )A. B.C. D.解析：選A 兩條直線方程為：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝(1,1)代入x＋y－1得10，代入x－2y＋2得10，即點(diǎn)(1,1)在x－2y＋2≥0的內(nèi)部，在x＋y－1≥0的內(nèi)部，故所求二元一次不等式組為4．下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)(1,2)位于直線x＋y－1＝0的同一側(cè)的是( )A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)解析：選C 當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，x＋y－1＝1＋2－1＝20，當(dāng)x＝－1，y＝3時(shí)，x＋y－1＝－1＋3－1＝10，故(－1,3)與(1,2)位于直線x＋y－1＝0的同側(cè)．5．(2012第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [備考方向要明了]考 什 么怎 么 考．，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．，并能加以解決.：選擇題或填空題．：(1)求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，或以最值為載體求其參數(shù)的值(范圍)，如2012年廣東T5，新課標(biāo)全國T14，山東T5等．(2)利用線性規(guī)劃方法求解實(shí)際問題中的最優(yōu)方案，如2012年江西T8等．(3)將線性規(guī)劃問題與其他知識相結(jié)合，如向量、不等式、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合命題，如2012年陜西T14，福建T9等.[歸納知識整合]1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式A
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