【正文】 0) 如果 EU u(50)，即甲參加賭博的預(yù)期效用大于不賭的效用，那么甲會(huì)參加賭博。彩票中獎(jiǎng)的概率是客觀存在的，因而叫做 客觀概率 ；而這里的概率是由賭博的雙方各自主觀確定的，因而叫做 主觀概率 。則 p 1? p ， q 1? q 。乙說(shuō)法國(guó)隊(duì)贏球，是因?yàn)橐艺J(rèn)為法國(guó)隊(duì)贏球的概率大于巴西隊(duì)。那么他們倆人是否要進(jìn)行這場(chǎng)賭博呢？ 問(wèn)題分析 ：甲和乙之所以爭(zhēng)論，是因?yàn)楦魅擞懈魅说男畔?，各人有各人的判斷。如果不接受這個(gè)賭博，甲和乙誰(shuí)都不會(huì)贏得 50元，當(dāng)然也不會(huì)付出 50元，雙方收入 50元不變。甲認(rèn)為巴西隊(duì)贏，乙認(rèn)為法國(guó)隊(duì)贏。這就解釋了彩票集合 X 為凸集的實(shí)際含義。 可以看出，購(gòu)買復(fù)合彩票 t 獲得 i 等獎(jiǎng)的概率為 a pi +(1 a)qi。對(duì)于彩票 p 和 q 來(lái)說(shuō)，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣一種彩票 t ：如果事件 A 發(fā)生，購(gòu)買者將得到彩票 p；如果事件 A 沒(méi)有發(fā)生，則購(gòu)買者得到彩票 q。這就是說(shuō)，要想彩票發(fā)行成功，設(shè)計(jì)的獎(jiǎng)品必須對(duì)消費(fèi)者有足夠大的效用：特別向往。另外，要讓消費(fèi)者購(gòu)買彩票，預(yù)期增加的效用不能為負(fù)： pUi (1 p) ui ? 0, 即 p ? ui /(Ui + ui) (i = 1,2,? ,m)。注意，一件獎(jiǎng)品需要的彩票張數(shù)應(yīng)不少于 A/a +1。假定彩票價(jià)格為 a 元，獎(jiǎng)品價(jià)格為 A 元。 實(shí)際情況是一段時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者面對(duì)的只有一種彩票，消費(fèi)者只需決定是否購(gòu)買它。顯然，誰(shuí)也不會(huì)設(shè)計(jì) p186。于是，彩票 p186。顯然， X 是 R?的有界凸閉子集，因而是凸緊集。這樣，消費(fèi)者依然是按照 A 和 B 的預(yù)期效用比較來(lái)選擇的。那么，當(dāng)消費(fèi)者面對(duì)兩種獎(jiǎng)勵(lì)不同的彩票時(shí)，又該如何比較呢？事實(shí)上，這兩種獎(jiǎng)勵(lì)不同的彩票通過(guò)如下的處理后，就可以看成是獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)都完全相同的彩票：把兩種彩票的獎(jiǎng)勵(lì)合并在一起，只不過(guò)購(gòu)買這種彩票就不能獲得那種彩票的獎(jiǎng)勵(lì)罷了。于是，這種彩票可用它的中獎(jiǎng)概率分布 p = ( p1, p2,? , pn) 來(lái)表示。比如有一種彩票有 n 個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)： 1等獎(jiǎng) , 2等獎(jiǎng) ,? , n 1等獎(jiǎng) (末等獎(jiǎng) ), n 等獎(jiǎng) (無(wú)獎(jiǎng) )。 如果 EU = EV ，即兩種彩票對(duì)抽彩人的預(yù)期效用相同，則可認(rèn)為這兩種彩票抽彩人來(lái)說(shuō)無(wú)差異，購(gòu)買哪一個(gè)都可以。這樣，抽彩人的選擇是購(gòu)買福利彩票。 抽彩人究竟會(huì)購(gòu)買哪一種彩票，取決于 EU 與 EV 的比較。 問(wèn)：抽彩者人喜歡購(gòu)買哪一種彩票？ 要回答這個(gè)問(wèn)題，需要計(jì)算這兩種彩票的預(yù)期效用，即計(jì)算效用的數(shù)學(xué)期望。假定福利彩票的中獎(jiǎng)概率為 p (不中獎(jiǎng)的概率便是 1p)，足球彩票的中獎(jiǎng)概率為 q (不中獎(jiǎng)的概率便是 1 q)。因此，擇業(yè)也是一種不確定選擇問(wèn)題。當(dāng)把通常的體育比賽、打麻將、玩撲克等游戲與收入緊密聯(lián)系起來(lái)時(shí)，它們就成了賭博。面對(duì)眾多的彩票，消費(fèi)者究竟是依據(jù)什么樣的準(zhǔn)則進(jìn)行選擇的？他究竟喜歡購(gòu)買哪一種彩票？這是我們關(guān)心的問(wèn)題。購(gòu)買彩票有可能獲得獎(jiǎng)品，甚至可能獲得大獎(jiǎng)，有些人就是靠購(gòu)買彩票碰運(yùn)氣發(fā)了家。 一、不確定性選擇的事例 我們先來(lái)討論不確定選擇的幾個(gè)典型事例，并作一些分析。 無(wú)常性 (uncertainty)是指人們既不能確定某種經(jīng)濟(jì)行為一定會(huì)發(fā)生某種結(jié)果，又不能確定發(fā)生某種結(jié)果的可能性大小。但經(jīng)濟(jì)學(xué)中，人們對(duì)這個(gè)詞的含義作了嚴(yán)格界定，區(qū)分了兩類不相同但有聯(lián)系的不確定性概念：風(fēng)險(xiǎn)性與無(wú)常性。這種在帶有不確定性的環(huán)境中的消費(fèi)可能更為常見，更符合現(xiàn)實(shí)，因此有必要研究不確定環(huán)境中的消費(fèi)選擇問(wèn)題。第 7講 預(yù)期效用理論 到目前為止，我們的討論都是在確定的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中進(jìn)行的，即涉及的價(jià)格、收入、需求等變量都是確定的。然而經(jīng)濟(jì)活動(dòng)并非總是在確定的環(huán)境中進(jìn)行，比如貸款消費(fèi)同未來(lái)收入有關(guān)，而未來(lái)是不確定的；股票的購(gòu)買與股票價(jià)格有關(guān)，而股票價(jià)格的變化是不確定的。 所謂不確定性，通常是說(shuō)人們不能確定某種經(jīng)濟(jì)行為一定會(huì)產(chǎn)生某種結(jié)果。 風(fēng)險(xiǎn)性 (risk)是指人們雖然不能確定某種經(jīng)濟(jì)行為一定會(huì)發(fā)生某種結(jié)果，但能夠確定發(fā)生某種結(jié)果的可能性大小，或者說(shuō)，經(jīng)濟(jì)行為產(chǎn)生某種結(jié)果的概率是客觀存在的。 本講研究不確定環(huán)境中的行為準(zhǔn)則，內(nèi)容包括： (1)風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中的選擇理論 — 預(yù)期效用 ； (2)無(wú)常環(huán)境中的選擇理論 — 主觀概率 。 例 1 彩票 (lottery) 發(fā)行彩票是一種常見的低成本籌資手段。彩票的種類很多，不同的彩票有著不同的中獎(jiǎng)概率分布。 例 2 賭博 (gamble) 賭博是一種典型的依靠隨機(jī)因素來(lái)決定收入的現(xiàn)象，用它可來(lái)區(qū)別一個(gè)人是風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者還是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者還是風(fēng)險(xiǎn)中立者。我們關(guān)心的是，當(dāng)消費(fèi)者面對(duì)一種賭博的時(shí)候，他是依據(jù)什么來(lái)決定參加還是不參加賭博的？ 例 3 擇業(yè) (jobchoice) 職業(yè)各種各樣，有些職業(yè)具有穩(wěn)定的收入，而有些職業(yè)的收入不穩(wěn)定，與績(jī)效掛鉤。 (一 ) 抽彩選擇 現(xiàn)有兩種獎(jiǎng)品相同的彩票：福利彩票和足球彩票，抽彩者如中獎(jiǎng)，即可得自行車一輛。購(gòu)買者如果中獎(jiǎng)，就可獲得 U1個(gè)單位的效用；如不中獎(jiǎng)，則獲得 U2個(gè)單位的效用 (實(shí)際上是損失 ?U2個(gè)單位的效用 )。用 EU 表示福利彩票的預(yù)期效用， EV 表示足球彩票的預(yù)期效用： EU = pU1 + (1 p)U2， EV = qU1 + (1 q)U2。 如果 EU EV ，則購(gòu)買福利彩票會(huì)預(yù)期給購(gòu)買者帶來(lái)更大的效用，因而抽彩人更喜歡福利彩票。 如果 EU EV ，則抽彩人更喜歡會(huì)足球彩票，他的選擇就是購(gòu)買足球彩票。 1. 彩票的表示 這個(gè)例子也說(shuō)明，彩票可以用中獎(jiǎng)概率分布來(lái)表示。獲得 i 等獎(jiǎng)的概率為 pi ( i = 1,2,? , n )，抽彩人獲得 i 等獎(jiǎng)后可得到的效用為 Ui個(gè)單位。購(gòu)買彩票 p 的預(yù)期效用 EU( p)為： EU( p) = p1U1 + p2U2 +? + pnUn 在所有的那些獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)都完全相同的彩票中，預(yù)期效用越大的彩票，抽彩人就越傾向于購(gòu)買。比如彩票 A 的獎(jiǎng)品有 a,b,c，彩票 B 的獎(jiǎng)品有 x,y,z，則可視彩票 A 和 B 的獎(jiǎng)品都為 a,b,c,x,y,z，只不過(guò)購(gòu)買彩票 A 獲得獎(jiǎng)品 x,y,z 的概率是 0，購(gòu)買彩票 B 獲得獎(jiǎng)品 a,b,c 的概率也是 0。 具有 n 個(gè)等級(jí)獎(jiǎng)勵(lì)的所有可能的彩票的全體是集合 X = { p?[0,1]?: p1+ p2+? + pn = 1}。可以假定，一等獎(jiǎng)讓消費(fèi)者凈增加的效用最多 , 二等獎(jiǎng)次之 , ? , n 等獎(jiǎng) (無(wú)獎(jiǎng) ) 2. 彩票的設(shè)計(jì) 的效用增量為負(fù) (只有付出，沒(méi)有所 獲 ) 。 = (1,0,? ,0)是預(yù)期效用函數(shù) EU( p) 在 X 上的最大值點(diǎn)。這樣的彩票。為了簡(jiǎn)單起見，假定只有兩個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)： 有獎(jiǎng) 和 無(wú)獎(jiǎng) 。消費(fèi)者 i 購(gòu)買彩票，獲獎(jiǎng)后效用增加 U i，不獲獎(jiǎng)則效用損失 u (即損失了 a 元錢的效用 )。因此，中獎(jiǎng)概率 p 必然滿足 p ? a /(A+a)。可見，設(shè)計(jì)一種彩票，既不讓發(fā)行者虧本，又能讓每個(gè)消費(fèi)者都購(gòu)買的條件是： A/a ? min{Ui /ui : i = 1,2,? , m}。 i X 1 1 1 3. 復(fù)合彩票 所有彩票的集合 X 是凸集，這有什么實(shí)際意義？也就是說(shuō)，把彩票 p 和 q 進(jìn)行加權(quán)平均 a p + (1 a) q 是什么含義？ 為了解釋 a p + (1 a) q 的含義，可以設(shè)想 a 為某隨機(jī)事件 A 發(fā)生的概率。所以，彩票 t 是一種 以概率 a 獲得彩票 p， 以概率 1 a 獲得彩票 q 的新型彩票，稱為 p 與 q 的 復(fù)合彩票 。因此，彩票 t 的中獎(jiǎng)概率分布為 a p + (1 a) q： a p + (1 a) q = (a p1+ (1 a) q1, a p2 + (1 a) q2,? , a pn + (1 a) qn) 既然彩票是用中獎(jiǎng)概率分布來(lái)表示的，因此 t = a p + (1 a) q。 p p1 p2 ? pn q q1 q2 ? qn a p + (1 a) q a p1+ (1 a) q1 a p2 + (1 a) q2 ? a pn + (1 a) qn (二 ) 賭博行為 實(shí)際問(wèn)題 ：甲 、 乙兩個(gè)球迷在為 巴西 法國(guó) 足球比賽的勝負(fù)爭(zhēng)執(zhí)不休。于是，有人建議他們以50元賭金打賭。如果接受賭博，贏者可得 50元，總收入變?yōu)?100元；輸者要付出 5