【正文】 1 1 1 1 1i i j j n nD b B b B b B b B? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1121212ni i inj j jnn n n na a aa a aDa a aa a a?1 1 1 2 112*1212ni i inj j jnn n n nb b bb b bDb b bb b b?其中 Bk1 為 D* 的元素 bk1 的代數(shù)余子式 . 對 k = 1,2,…, n。行列式 第二章 ? n 階行列式 ? 行列式性質(zhì)與展開定理 ? 克拉默（ Cramer）法則 ? 應用舉例 第一節(jié) n 階行列式 2022/6/4 3 行列式 （ Determinant） 是線性代數(shù)中的一個最基 本、最常用的 工具 ，最早出現(xiàn)于求解線性方程組 .它被 廣泛地應用于數(shù)學、物理、力學以及工程技術等領域 . 了解：關于行列式 2022/6/4 4 設 二元線性方程組 用消元法知： 當 時 ， 1 1 2 2 1 2 2 1 0a a a a??1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b???? ???（ 1） 方程組 (1)有解 , 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1121 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1b a a b a b b axxa a a a a a a a????且 把由四個數(shù)排成兩行兩列 ,并定義為數(shù) 的式子 , 叫做 二階行列式 . 1 1 2 2 1 2 2 1a a a a?1 1 1 22 1 2 2aaDaa? 數(shù) 稱為行列式的元素，元素 第一個下標稱為行標，表明該元素位于第 i 行； 第二個 下標稱為列標，表明該元素位于第 j 列 . ( 1 , 2 。 1 , 2 )ija i j?? ija 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2aaD a a a aaa? ? ?+ ? 運算符 主對角線 一、二階與三階行列式 基本概念 行列式是一個數(shù) 2022/6/4 5 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1121 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1b a a b a b b axxa a a a a a a a????由二階行列式的定義，得： 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2aaD a a a aaa? ? ? 稱為 方程組（ 1）的 系數(shù)行列式 1 2 2 1 2 2b a a b? 1 1 212 2 2ba Dba??1 1 11 1 2 1 2 1 22 1 2aba b b a Dab? ? ?Example 2 便于表示、記憶和推廣 求解二元線性方程組 1212322121xxxx???? ???由于 323 ( 4) 7 0 ,21D ?? ? ? ? ? ?12 12 ( 2) 141121D?? ? ? ? ?23 3 24 212121D ? ? ? ? ?121 4 2 12 , 377DDxx ?? ? ? ? ? ? ?因 此 ，Solution: 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b???? ???（ 1） 1 1 2 1 1 12 2 2 2 1 212121 1 1 2 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 2b a a bb a a bDDxxa a a aa a a a? ? ? ??用行列式形式表示方程組的解 2022/6/4 6 類似地，定義三階行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?+ 計算（定義）規(guī)則稱為對角線規(guī)則（或沙流氏規(guī)則） . Example 3 計算三階行列式 1 4 12 5 31 1 1????1 4 12 5 31 1 1????= 5 +12 2 5 +8 +3 =11 Solution: 基本概念 2022/6/4 7 二、 n 階行列式 用遞歸的方法來定義 n 階行列式 . 由 n2 個元素 aij ( i , j = 1,2,…, n ) 排成 n 行 n 列， 11 12 121 22 212nnnn n nna a aa a aDa a a? （ 2 ）稱為 n 階行列式 . 數(shù) 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?? 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 3 1 3 2 1 3 2 2 2 3 1( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ?? 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 21 1 1 2 1 33 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2a a a a a aa a aa a a a a a??行數(shù)與列數(shù)相等 特點？ 基本概念 在 (2) 式中， a11,a22,…, ann 所在的對角線稱為行列式的主對角線 . 2022/6/4 8 ? 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 21 1 1 2 1 33 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2a a a a a aa a aa a a a a a??? 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3a M a M a M??1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a? 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3a A a A a A??M11 M12 M13 Definition 1 在 n 階行列式 D 中，將 aij 所在的第 i 行第 j 列劃去后，余下的元素按原相對位置構(gòu)成的一 個 n 1 階行列式，稱為 aij 的 余子式 ，記作 Mij . 稱 Aij = (1)i+jMij，稱為元素 aij 的 代數(shù)余子式 . 二、 n 階行列式 2022/6/4 9 Definition 2 當 n = 1 時，定義一階行列式 , 若定義了 n1 ( n ≥2) 階行列式，則定義 n 階行列式為 1 1 1 1aa?111( 3 )nkkkaA?? ?11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aa a a aa a a aDn = a11A11 + a12A12 + …+ a1nA1n 也稱 (3) 為 n 階行列式關于第一行的展開式 . 數(shù) aij 稱為行列式 Dn 的第 i 行第 j 列元素 . Note : 當 n ≥ 4 時 ， 對角線法則不再 適用 Dn 的計算 . 如 4 階行列式：