【正文】 ????, d d x d y v d x u d yxyV y c V x c?????????? ? ? ? ???? ? ? ??VFolie23 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 點源 源可以有正負(fù)。 0d dx dy udx v dyxy??? ??? ? ? ? ???Folie21 位函數(shù) Φ 和流函數(shù) Ψ 之間滿足 柯西 黎曼條件 ： 速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是： rrrrxyyx???????????????????????????????? 標(biāo)：坐極笛卡兒坐標(biāo)：rrVrrVxyvyxur????????????????????????????????????? , , 標(biāo)：坐極笛卡兒坐標(biāo)：Folie22 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 直勻流 直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩點的位置。 (4) 速度位函數(shù)相等的點連成的線稱為 等位線 ，速度方向垂直于等位線。 (2) 速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量，速度位 函數(shù)的數(shù)值沿著 流線方向增加。 需要求解滿足一定 定解條件 的在 C外區(qū)域內(nèi)的 解析函數(shù) 。 1221dndnVVdndqdndVsss ??? ?Folie19 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 1）以速度勢函數(shù)為未知函數(shù)的提法 （ 2）以流函數(shù)為未知函數(shù)的提法 （ 3）以復(fù)位勢 w(z)為未知函數(shù)提法 2222 0 0 , , C vux y x y? ? ? ????? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? izw ??)(2222 0 0 , , Cxyuvn x y??? ? ???? ???????? ? ?? ? ?? ? ?理想不可壓縮流體平面定常無旋流動數(shù)學(xué)問題的提法 共有三種數(shù)學(xué)提法。 如果相鄰流線之間的流函數(shù)差為常數(shù)，等于單寬流量增量。 ssd V d nd V d s????流 函 數(shù) 的 增 量 （ 沿 垂 直 于 流 線 方 向 增 加 最 快 ）勢 函 數(shù) 的 增 量 （ 沿 流 線 方 向 增 加 最 快 ）dn dsdd????dn dds d???Folie18 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 流網(wǎng)不僅可以顯示 流速的分布情況 (方向） ，也可以 反映速度的大小 。把由這種正交曲線構(gòu)成的網(wǎng)格叫做流網(wǎng)。 uvdxdyu d yv d xd??????1K0?vudxdyKv d yudxdyydxxd????????????20???1K 21 ???????? ?? vuuvKFolie17 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 6）流網(wǎng)及其特征 在理想不可壓縮流體定常平面勢流中，每一點均存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)值。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合 在流函數(shù)相等的線上，有 上式即為平面流動的流線方程。 x xd v dx udy d dx dy v dx udyyuvy????????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ???思考： 為什么二維流動一定存在流函數(shù)？ Folie14 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 流函數(shù)的概念是 1781年 Lagrange首先引進(jìn)的。這樣下列微分一定是某個函數(shù)的全微分，即 這個函數(shù)稱為流函數(shù)。如果是封閉曲線，速度環(huán)量為零。 0 1 2222222222221??????????????????????????? ????niiiiiniii zyxCzyxC???????? （ 3）速度勢函數(shù)相等的點連成的線稱為 等勢線 ，速度方向垂直于等勢線 （ 4）連接任意兩點的速度線積分等于該兩點速度勢函數(shù)之差。滿足解的線性迭加原理。由此可得出，速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù)，而不影響流體的運動 。 、平面不可壓位流的基本方程 （邊界條件） 按照在邊界上所給條件是針對位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向?qū)?shù)，邊界條件分為三種類型： （ 1）第一邊值問題（狄利希特問題）：給出邊界上位函數(shù)自身值 （ 2）第二邊值問題（諾曼問題）：給出邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值 （ 3）第三邊值問題（龐卡萊問題）：給出部分邊界上位函數(shù)自身值，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值 空氣動力問題大多數(shù)屬于第二邊值問題 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 Folie9 將坐標(biāo)系與飛行器或物體固連，則外邊界在遠(yuǎn)離物體處，速度為 V∞ ，內(nèi)邊界是物體表面，不允許流體穿過或表面法向速度為零 外邊界 內(nèi)邊界 n為物面法向 可以證明，拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件，則解是唯一的。 Folie8 邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件，邊界通常分為內(nèi)邊界和外邊界。這使得速度和壓強的求解過程分開進(jìn)行，從而大大簡化了問題的復(fù)雜性。 Folie7 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 由此說明，只要把速度勢函數(shù)解出，壓強 p可直接由 Bernoulli方程得到。與壓強 p沒有進(jìn)行耦合求解，那么如何確定壓強呢？在這種情況下，可將速度值作為已知量代入運動方程中，解出 p值。這是因為，對于無旋運動情況，流場的速度旋度為零，即 存在速度勢函數(shù)（位函數(shù)）為 02 ????? ???? VVr o tzwyvxuV ??????????? ???? ?思考： 速度和壓力需要耦合求解是什么意思？ Folie6 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中，得到： 2222 2 200 0Vu v wx y z x y z????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由此可見，利用 無旋流動 和 連續(xù)條件 所得到的這個方程是大家熟知的 二階線性偏微分方程 ， 拉普拉斯方程 ，這是一個 純運動學(xué)方程 。這是因為方程中的對流項是非線性的，而且方程中的速度 V 和壓強 p 相互耦合影響，需要一并求出。在粘性作用可忽略的區(qū)域，這種理想模型的解還是有相當(dāng)?shù)目尚懦潭取? 為了簡化求解問題，本章首先介紹流體力學(xué)中一類簡單的流動問題，理想不可壓縮流體的無旋流動。但是，要想得到這些偏微分方程的解，并非易事。Folie1 空氣動力學(xué)基礎(chǔ) 第三章理想不可壓縮流體平面位流 （ 6學(xué)時） Folie2 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 第 3章 理想不可壓縮流體平面位流 3． 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 3． 2 幾種簡單的二維位流 3． 2． 1 直勻流 3． 2． 2 點源 3． 2． 3 偶極子 3． 2． 4 點渦 3． 3 一些簡單的流動迭加舉例 3． 3． 1 直勻流加點源 3． 3． 2 直勻流加偶極子 3． 3． 3 直勻流加偶極子加點渦 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 Folie3 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 對于理想不可壓縮流體，流動的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運動方程組。在第二章中已給出這些方程的推導(dǎo)過程，本章應(yīng)該討論怎樣求解這些方程。因為實際飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足這些復(fù)雜邊界條件下求得基本方程的解，困難是相當(dāng)大的。 這是早期流體力學(xué)發(fā)展的一種理想化近似模型，比求解真實粘性流動問題要容易的多。 Folie4 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 不可壓縮理想流體無旋流動的基本方程 初始條件和邊界條件為 在 t=t0時刻， 在物體的邊界上 在無窮遠(yuǎn)處 pfdtVdzwyvxu?????????????10??( , , ) ( )V V x y z p p x , y , z??0?nV??VV思考： 為什么需要邊界條件？ Folie5 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 如果沒有無旋條件進(jìn)一步簡化上述方程，求解起來也是很困難的。但是，對于 無旋流動 ，問題的復(fù)雜性可進(jìn)一步簡化，特別是 可將速度和壓力分開求解 。如果對這個方程賦予適當(dāng)?shù)亩ń鈼l件，就可以單獨解出速度位函數(shù)，繼而求出速度值。實際求解并不是直接代入運動方程中，而是利用 Bernoulli(或 Lagrange)積分得到。在這種情況下整個求解步驟概括為： （ 1）根據(jù)純運動學(xué)方程求出速度勢函數(shù)和速度分量； （ 2）由 Bernoulli方程確定流場中各點的壓強。綜合起來對于理想不可壓縮流體無旋流動，控制方程及其初邊