【正文】 Folie1 空氣動力學基礎(chǔ) 第三章理想不可壓縮流體平面位流 （ 6學時） Folie2 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 第 3章 理想不可壓縮流體平面位流 3． 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 3． 2 幾種簡單的二維位流 3． 2． 1 直勻流 3． 2． 2 點源 3． 2． 3 偶極子 3． 2． 4 點渦 3． 3 一些簡單的流動迭加舉例 3． 3． 1 直勻流加點源 3． 3． 2 直勻流加偶極子 3． 3． 3 直勻流加偶極子加點渦 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 Folie3 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 對于理想不可壓縮流體，流動的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運動方程組。在第二章中已給出這些方程的推導(dǎo)過程，本章應(yīng)該討論怎樣求解這些方程。但是，要想得到這些偏微分方程的解，并非易事。因為實際飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足這些復(fù)雜邊界條件下求得基本方程的解，困難是相當大的。 為了簡化求解問題，本章首先介紹流體力學中一類簡單的流動問題，理想不可壓縮流體的無旋流動。 這是早期流體力學發(fā)展的一種理想化近似模型，比求解真實粘性流動問題要容易的多。在粘性作用可忽略的區(qū)域，這種理想模型的解還是有相當?shù)目尚懦潭取? Folie4 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 不可壓縮理想流體無旋流動的基本方程 初始條件和邊界條件為 在 t=t0時刻， 在物體的邊界上 在無窮遠處 pfdtVdzwyvxu?????????????10??( , , ) ( )V V x y z p p x , y , z??0?nV??VV思考： 為什么需要邊界條件？ Folie5 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 如果沒有無旋條件進一步簡化上述方程，求解起來也是很困難的。這是因為方程中的對流項是非線性的，而且方程中的速度 V 和壓強 p 相互耦合影響，需要一并求出。但是，對于 無旋流動 ，問題的復(fù)雜性可進一步簡化，特別是 可將速度和壓力分開求解 。這是因為，對于無旋運動情況，流場的速度旋度為零，即 存在速度勢函數(shù)（位函數(shù)）為 02 ????? ???? VVr o tzwyvxuV ??????????? ???? ?思考： 速度和壓力需要耦合求解是什么意思？ Folie6 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中，得到： 2222 2 200 0Vu v wx y z x y z????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由此可見，利用 無旋流動 和 連續(xù)條件 所得到的這個方程是大家熟知的 二階線性偏微分方程 ， 拉普拉斯方程 ，這是一個 純運動學方程 。如果對這個方程賦予適當?shù)亩ń鈼l件，就可以單獨解出速度位函數(shù)，繼而求出速度值。與壓強 p沒有進行耦合求解，那么如何確定壓強呢？在這種情況下，可將速度值作為已知量代入運動方程中，解出 p值。實際求解并不是直接代入運動方程中，而是利用 Bernoulli(或 Lagrange)積分得到。 Folie7 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 由此說明，只要把速度勢函數(shù)解出，壓強 p可直接由 Bernoulli方程得到。在這種情況下整個求解步驟概括為： （ 1）根據(jù)純運動學方程求出速度勢函數(shù)和速度分量； （ 2）由 Bernoulli方程確定流場中各點的壓強。這使得速度和壓強的求解過程分開進行，從而大大簡化了問題的復(fù)雜性。綜合起來對于理想不可壓縮流體無旋流動，控制方程及其初邊界條件為 )(20 2222222tCpVtzyx????????????????????? 初始條件為 邊界條件為 ),( ),( 000 zyxppzyxVVtt ??? ??0 snppVV??? ????固 壁 面 條 件自 由 面 條 件無 窮 遠 處 在流體力學中的邊界條件多數(shù)屬于 第二類邊界條件 ，及在邊界上給定速度勢函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。 Folie8 邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件，邊界通常分為內(nèi)邊界和外邊界。對飛行器或物體而言，內(nèi)邊界即飛行器或物體表面，外邊界為無窮遠。 、平面不可壓位流的基本方程 （邊界條件） 按照在邊界上所給條件是針對位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向?qū)?shù)，邊界條件分為三種類型： （ 1）第一邊值問題（狄利希特問題）：給出邊界上位函數(shù)自身值 （ 2）第二邊值問題（諾曼問題）：給出邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值 （ 3）第三邊值問題（龐卡萊問題）：給出部分邊界上位函數(shù)自身值，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值 空氣動力問題大多數(shù)屬于第二邊值問題 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 Folie9 將坐標系與飛行器或物體固連，則外邊界在遠離物體處，速度為 V∞ ，內(nèi)邊界是物體表面，不允許流體穿過或表面法向速度為零 外邊界 內(nèi)邊界 n為物面法向 可以證明，拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件，則解是唯一的。 求不可壓理想無旋流繞物體的流動問題就轉(zhuǎn)化為 求解拉普拉斯方程的滿足給定邊條的特解 這一數(shù)學問題 ???? Vx? 0??????zy??0???n??V2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 Folie10 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 速度勢函數(shù)的性質(zhì) （ 1）速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量， 速度勢函數(shù)沿著流線方向增加 。由此可得出，速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù)，而不影響流體的運動 。 sdsdzzdsdyydsdxxVdsdzwdsdyvdsdxudssdVVw d zv d yudxsdVdsVsss??????????????????????????????Folie11 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 2）速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。滿足解的線性迭加原理。如果速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則它們的 線性組合 也滿足拉普拉斯方程。 0 1 2222222222221??????????????????????????? ????niiiiiniii zyxCzyxC???????? （ 3）速度勢函數(shù)相等的點連成的線稱為 等勢線 ，速度方向垂直于等勢線 （ 4）連接任意兩點的速度線積分等于該兩點速度勢函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩點的位置。如果是封閉曲線，速度環(huán)量為零。 sdV 0 0 ???? ????? sdVdd ??( ) ( )B B B BBAA A A AV d s u d x v d y wd z d x d y d z dx y z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?Folie12 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 流函數(shù)及其性質(zhì) 根據(jù)高等數(shù)學中，格林公式可知（平面問題的線積分與面積分的關(guān)系） 如果令 由此可見，下列線積分與路徑無關(guān)（圍繞封閉曲線的線積分為零） ??? ???????? ????????dx dyyPx dyP dxL Q LuvP v u v d x u d y d x d yxy?????? ? ? ? ? ? ???????? ??， 有 ： 0????Ludyv d x 存在的充分必要條件是 0?????? yvxuFolie13 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 這是不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程。這樣下列微分一定是某個函數(shù)的全微分，即 這個函數(shù)稱為流函數(shù)。由此可見，對于不可壓縮流體的 平面流動（二維問題），無論是理想流體還是粘性流體，無論是有渦流動還是無渦流動，均存在流函數(shù)。 x xd v dx udy d dx dy v dx udyyuvy????????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ???思考： 為什么二維流動一定存在流函數(shù)？ Folie14 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 流函數(shù)的概念是 1781年 Lagrange首先引進的。流函數(shù)具有下列性質(zhì) （ 1）流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動 （ 2）流函數(shù)值相等的點的連線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合 在流函數(shù)相等的線上，有 上式即為平面流動的流線方程。 0d d x d yxyv d x u d y??? ??????? ? ? ?dx dyuv?Folie15 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 3）流函數(shù)在某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于 順時針旋轉(zhuǎn) 90度 方向的速度分量 根據(jù)流函數(shù)這一性質(zhì)，如果沿著流線取 s，反時針旋轉(zhuǎn) 90度取 n方向，則有 （ 4）理想不可