【正文】 相當(dāng)于將璧面去掉在－ b處放置強(qiáng)度同樣為 Q的點(diǎn)源： ])l n [ (4])l n [ (4 2222 ybxQybxQ ?????? ???x y o . b 2題 .3題圖 032)232(2])(1)(1[2])()([20,0,222222?????????????????????vbQbbQbxbxQybxbxybxbxQuyxyxbb????. Folie76 解 2：題目相當(dāng)于在－ b處疊加一個(gè)環(huán)量相等方向相反的點(diǎn)渦，求該點(diǎn)渦速度相當(dāng)于求 b點(diǎn)速度。 d. 試寫(xiě)出位于原點(diǎn)，軸線指向－ y軸的偶極子的位函數(shù)。 ? 掌握平面不可壓位流的基本方程即拉普拉斯方程的特點(diǎn)、疊加原理和邊界條件； ? 掌握四種基本而重要的位流流動(dòng)即：直勻流，點(diǎn)源（點(diǎn)匯）、偶極子和點(diǎn)渦的表達(dá)； ? 重點(diǎn)掌握直勻流與偶極子和點(diǎn)渦的疊加； ? 掌握儒可夫斯基升力定律； ? 了解二維對(duì)稱物體繞流數(shù)值解法步驟 Folie71 本章討論怎樣求解不可壓理想流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 ? 在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個(gè)方程和四個(gè)未知函數(shù)（ u,v,w,p），理論上是可解的 ? 由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項(xiàng)，而且方程中速度與壓強(qiáng)相互耦合，需要一并求出 ? 人們發(fā)現(xiàn)在無(wú)旋條件下問(wèn)題可以得到大大簡(jiǎn)化，尤其是可以將速度和壓強(qiáng)分開(kāi)求解，這是因?yàn)闊o(wú)旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨(dú)求得速度位即求出速度，而壓強(qiáng)可利用伯努利方程求解 ? 本章的思路是，先針對(duì)理想不可壓無(wú)旋流求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡(jiǎn)單邊界條 件的流動(dòng)。 也可以由位函數(shù)出發(fā)，用位函數(shù)對(duì)應(yīng)的物面條件來(lái)解決實(shí)際流動(dòng)問(wèn)題。顯然，如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性。 10 1 , 2 , ,ni i i j jjv y C m i n? ??? ? ? ??? ? 22 iji iij yxyC?????? j?Folie68 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 展開(kāi)上式，即 利用解一次方程組的各種計(jì)算方法，求解上面方程組，確定偶極子密度。 下面簡(jiǎn)單地?cái)⑹鲇脭?shù)值方法求解已知物體形狀確定繞物體流動(dòng)特性的過(guò)程。 ? ?? ? 2 2m d ydxy????????? ?? ?? ???? ?ba dyxymyV ????22奇點(diǎn)疊加數(shù)值解法 Folie64 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 Folie65 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，往往是給定物體的外形來(lái)確定其流動(dòng)的特性。設(shè)直勻流沿 x 軸正向流來(lái)，其速度為 V∞，在 x 軸上 x =a和 x =b 范圍內(nèi)連續(xù)分布一系列的偶極子，單位長(zhǎng)度內(nèi)偶極子的強(qiáng)度設(shè)為 m（ 偶極子密度 ）。無(wú)環(huán)量時(shí)，上半圓（ θ由 π至 0）上的壓力分布和下半圓（ θ由 π至 2π）上的壓力分布對(duì)稱，結(jié)果是合力為零。有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流，便有一個(gè)升力。 Folie57 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 動(dòng)量積分方程變?yōu)椋? 在 r1 的大圓上： ?? ???SnSv dsVdsynpL ?),c os (?? dyn 1rds s in),c o s ( ?????????2/2/12/2/1 2s i n2???????? vdVrdprL r2 2 2222 2 2 22 2 2 22 2 2 2 21 c o s 1 s i n 1 s i n4rV V Va a V aVVr r r r r?? ? ????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?)(21 22 VVpp ??? ?? ?Lp Lv Folie58 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 在上述表達(dá)式中，奇函數(shù)積分為零，只有偶函數(shù)積分。以原點(diǎn)為中心，畫(huà)一個(gè)半徑為 r1很大的控制面 S，整個(gè)的控制面還包括圓的表面 S1 及連接 S 和 S1 的兩條割線。 的 多少?zèng)Q定于環(huán)量對(duì)速度乘半徑 a之比值；比值越大，駐點(diǎn)越往下移。 Folie52 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 粘性流體繞圓柱的流動(dòng)顯示實(shí)驗(yàn) 二維圓柱擾流的卡門(mén)渦街 有攻角機(jī)翼繞流尾流場(chǎng)中的旋渦 Folie53 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 直勻流加偶極子加點(diǎn)渦（有環(huán)量的圓柱繞流） 在 直勻流加偶極子 的流動(dòng)之上，再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為（ – Γ）的 點(diǎn)渦 （順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)）。這個(gè)矛盾多少耽誤了一點(diǎn)流體力學(xué)的發(fā)展，那時(shí)人們以為用無(wú)粘的位流去處理實(shí)際流動(dòng)是沒(méi)有什么價(jià)值的。這個(gè)流動(dòng)不僅上下是對(duì)稱的，而且左右也是對(duì)稱的，物面上的壓強(qiáng)分布也是對(duì)稱的，結(jié)果哪個(gè)方向的合力也沒(méi)有。 處流速加快到和來(lái)流的流速一樣大了。容易證明，該流線通過(guò)駐點(diǎn)的 x 軸線；另外還有 是半徑為 a 的圓。這時(shí)，流動(dòng)的位函數(shù)和流函數(shù)分別是： 流動(dòng)是直勻流流過(guò)一個(gè)圓 。頭部附近形成一個(gè)低速高壓區(qū)，隨后速度迅速上升，壓強(qiáng)急劇下降。此后氣流繼沿物面加速，走了一段之后，流速達(dá)最大值， Cp 達(dá)最小值。不過(guò)這個(gè)物體后面是不封口的，稱半無(wú)限體。外面的是直勻流繞此圍墻的流動(dòng)，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動(dòng)。 對(duì)于非水平流線，半徑 r： 如對(duì)于 相應(yīng)的半徑 r 為： 0 0????，???? 2s in QrV ?? ?2Q??22s inrV ??? ?????? ?? 2Q)1(2s in1 ??? ???QVr3 22??????，1 ( 1 ) s i n 2 4 2EFQ Q QrDV V V???? ? ?? ? ? ?，y Folie41 流線 BAB′的形狀可以根據(jù)流函數(shù)ψ=c 畫(huà)出來(lái)，也可以從流量關(guān)系推算出來(lái)。 這里要說(shuō)明的一個(gè)事實(shí)是 ， 渦對(duì)于外部流場(chǎng)是產(chǎn)生誘導(dǎo)速度的 （ 即擾動(dòng) ） ， 其值與至中心的距離成反比 ， 但對(duì)它自己的核心是沒(méi)有誘導(dǎo)速度的 。但核外的流速是與 r 成反比的，如圖所 示。渦本來(lái)是有旋流動(dòng)，但像這樣一根單獨(dú)的渦線所產(chǎn)生的流場(chǎng)，除真正的渦心那一條線（在平面里就是一點(diǎn)）之外，其余的地方仍是無(wú)旋流動(dòng)。分速 Vθ 和離中心點(diǎn)的距離 r 成反比 ，指向逆時(shí)針?lè)较?。前面表示的偶極子是以 x 軸為軸線的，其正向?yàn)檩S線上的流線方向，前面的偶極子是指向負(fù) x 方向的。 Folie27 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下 其中 表示流場(chǎng)點(diǎn) P 分別與源和匯連線與 x軸之間的夾角。如果把源放 在坐標(biāo)原點(diǎn) 上，那末這流動(dòng)便只有 ，而沒(méi)有 。 其流速為 位函數(shù)為 常用平行于 x 軸的直勻流，從左面遠(yuǎn)方流來(lái)，流速為 。 (5) 連接任意兩點(diǎn)的速度線積分等于該兩點(diǎn)的速度位函數(shù)之差。 Folie20 位函數(shù) Φ的性質(zhì)小結(jié) (1) 速度 位函數(shù)由 無(wú)旋條件 定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng)。即 表示流速與相鄰流線的間距成反比，因此流線的疏密程度反映了速度的大小。在流網(wǎng)中，每一個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)之比等于勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的增值之比。 0d d x d yxyv d x u d y??? ??????? ? ? ?dx dyuv?Folie15 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 3）流函數(shù)在某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90度 方向的速度分量 根據(jù)流函數(shù)這一性質(zhì)，如果沿著流線取 s，反時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90度取 n方向，則有 （ 4）理想不可壓縮流體平面勢(shì)流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程 ),c o s (),c o s ( ymuxmvmyymxxmVmnmVnn???????????????????????? ??0 ???????? sVnV ns ??021)( )( 21 21 2222z ????????? ??????????????? ??????????????????? ?????? yxyyxxyuxv ?????Folie16 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 5）過(guò)同一點(diǎn)的等速度勢(shì)函數(shù)線與等流函數(shù)線正交（等勢(shì)線與流線正交） 等流函數(shù)線是流線，有 另一方面，過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)函數(shù)線方程為 在同一點(diǎn)處，流線與等勢(shì)線的斜率乘積為 說(shuō)明流線與等勢(shì)線在同一點(diǎn)正交。由此可見(jiàn)，對(duì)于不可壓縮流體的 平面流動(dòng)（二維問(wèn)題），無(wú)論是理想流體還是粘性流體，無(wú)論是有渦流動(dòng)還是無(wú)渦流動(dòng)，均存在流函數(shù)。速度線積分與路徑無(wú)關(guān)，僅決定于兩點(diǎn)的位置。 sdsdzzdsdyydsdxxVdsdzwdsdyvdsdxudssdVVw d zv d yudxsdVdsVsss??????????????????????????????