高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列ppt課件-展示頁
2025-05-16 12:06本頁面
【正文】 (2022年高考全國卷 Ⅱ )設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，已知 a1＝ 1， Sn＋ 1＝ 4an＋ 2. (1)設(shè) bn＝ an＋ 1－ 2an，證明：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式． 【 思路點(diǎn)撥 】 本題第 (1)問將 an＋ 2＝ Sn＋ 2－ Sn＋ 1代入可以得到 an的遞推式，再由 bn＝ an＋ 1－ 2an代入即證；第 (2)問將 bn的通項(xiàng)公式代入 bn＝ an＋ 1－ 2an，可得 an的遞推式，再依照題型模式求解即可． 【 解 】 (1)證明：由已知有 a1＋ a2＝ 4a1＋ 2， 解得 a2＝ 3a1＋ 2＝ 5，故 b1＝ a2－ 2a1＝ 3， 又 an＋ 2＝ Sn＋ 2－ Sn＋ 1 ＝ 4an＋ 1＋ 2－ (4an＋ 2) ＝ 4an＋ 1－ 4an， 于是 an＋ 2－ 2an＋ 1＝ 2(an＋ 1－ 2an)，即 bn＋ 1＝ 2bn. 因此數(shù)列 {bn}是首項(xiàng)為 3，公比為 2的等比數(shù)列． (2) 由 (1 ) 知等比數(shù)列 { bn} 中 b1＝ 3 ，公比 q ＝ 2 ， 所以 an ＋ 1－ 2 an＝ 3 2n － 1， 于是an ＋ 12n ＋ 1－an2n ＝34， 因此數(shù)列 {an2n } 是首項(xiàng)為12，公差為34的等差數(shù)列， 所以an2n ＝12＋ ( n － 1) 34＝34n －14， 所以 an＝ (3 n － 1)aq a＝ am ab ????? na 1 ? q ＝ 1 ?a 1 ? 1 － q n ?1 － q＝a 1 － a n q1 － q ? q ≠ 1 ? 思考感悟 1． b2＝ ac是 a， b， c成等比數(shù)列的什么條件？ 提示： b2＝ ac是 a， b， c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng) b＝ 0， a， c至少有一個(gè)為零時(shí)， b2＝ ac成立，但 a， b， c不成等比，反之，若 a， b，c成等比，則必有 b2＝ ac. 2．等比數(shù)列的性質(zhì) (1)等比數(shù)列 {an}滿足 ________________時(shí)， {an}是 遞增數(shù)列；滿足 _________________時(shí)， {an}是遞減數(shù)列． ????? a 1 0q 1 或 ????? a 1 00 q 1 ????? a 1 00 q 1 或 ????? a 1 0q 1 (2)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積 ____．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于______的平方． (3)對(duì)任意正整數(shù) m、 n、 p、 q，若 m＋ n＝ p＋ q，則 ___________. 特別地，若 m＋ n＝ 2p，則 ________. 相等 中間項(xiàng) am 把脈高考 雙基研習(xí) 等比數(shù)列 考點(diǎn)探究 167。 等比數(shù)列 167。 挑戰(zhàn)高考 考向瞭望 面對(duì)高考 雙基研習(xí) ?面對(duì)高考 基礎(chǔ)梳理 1．等比數(shù)列的相關(guān)概念及公式 相關(guān)名詞 等比數(shù)列 {an}的相關(guān)概念及公式 定義 如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起 ， 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于 __________， 那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列 ， 這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比 ． 同一個(gè)常數(shù) 相關(guān)名詞 等比數(shù)列 {an}的相關(guān)概念及公式 通項(xiàng)公式 an＝ _______ 等比中項(xiàng) 如果在 a與 b中間插入一個(gè)數(shù) G，使得 a， G， b成 ________，那么稱 G為 a、 b的等比中項(xiàng)，且有 G＝ ________. 前 n項(xiàng)和公式 Sn＝ _________________________ a1qn－ 1 等比數(shù)列 177。an＝ apan 思考感悟 2．?dāng)?shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 Sn＝ aqn＋ b(a，b∈ R)， {an}是等比數(shù)列，則 a， b滿足的條件是什么？ 提示： a ＋ b ＝ 0. 當(dāng)公比 q ≠ 1 時(shí)， S n ＝a 1 ? 1 － qn?1 － q可變形為 S n ＝－a 11 － qqn＋a 11 － q，令a 11 － q＝ m ，上式可寫成 S n ＝－ mqn＋ m . 課前熱身 1．在等比數(shù)列 {an}中， a5＝ 3，則 a3 2n － 2( n ∈ N ＋ ) ． 【誤區(qū)警示】 本題的求解過程有兩個(gè)常見的思維錯(cuò)誤： (1) 沒有注意到題目形式特點(diǎn)，將 an＝ Sn－ Sn － 1直接代入，從而出現(xiàn)下標(biāo)的混亂． (2) 得到遞推式 an ＋ 1－ 2 an＝ 3 2n － 1后，不會(huì)轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列an ＋ 12n ＋ 1－an2n ＝34求解，只是看到等式右邊是一個(gè)等比數(shù)列的形式，可以求和，于是結(jié)合平時(shí)的做題經(jīng)驗(yàn)，企圖利用疊加法求和，使計(jì)算繁瑣且不能成功． 等比數(shù)列中基本量的計(jì)算 等比數(shù)列基本量的計(jì)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算的
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