【正文】 設(shè) p 維隨機向量 u ~ Np (0, I ) ， 下面考慮 u 的一個 非退化變換 x ? ? ? A u 的分布，這里 0ppA ? ?x 的 均值 和 協(xié)方差矩陣 分別為 ( x ) ( u )E A E??? ? ?( x ) ( u )V A V A A A??? ? ? ?2 1( x ) ( 2 ) e xp u u ( u x )2pfJ? ? ?? ?? ? ?????x 的 密度函數(shù) 為 122 1 11( 2 ) e x p [ ( x ) ] [ ( x ) ]2p AA? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ?????1221 1( 2 ) e xp ( x ) ( x ) ,2p? ? ???? ?? ?? ? ? ? ? ?????（ ） 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ?=0 , ?=1 的正態(tài)分布稱為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 記作 x ~ N (0 ,1 ) ??????? ? xexx2221)(??密度函數(shù)記為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布之間的關(guān)系 記 u ~ N (0 ,1 )， 則 x=?+ ?u ~ N ( ? , ? 2 ) 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 第一節(jié) 多元正態(tài)分布的定義 一 、 一元正態(tài)分布回顧 一個游戲： 高爾頓釘板游戲 考察某一學(xué)科 考試成績的分布 考察人類 身高的分布 情況 思考：以上分布具有什么樣的特點？ 多元統(tǒng)計分析 169。多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 第三章 多元正態(tài)分布 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 一元正態(tài)分布的定義 則稱 x 服從參數(shù)為 ? , ? 2 的 正態(tài)分布 ， 記作 x ~ N ( ? , ? 2 ) 定義 若 . x 的密度函數(shù)為 ?????????xexfx222)(21)( ??????, 為常數(shù)， 0??其中 亦稱高斯 (Gauss)分布 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 二 、 多元正態(tài)分布的定義 定義 設(shè) p 維隨機向量 則 u 的密度函數(shù)為 12u ( , , , ) ,pu u u ?? 12, , , ~ ( 0 , 1 )iidpu u u N1 2 211( u ) ( 2 ) e x p2piifu? ?????? ?????2211( 2 ) e x p2ppiiu? ?????? ?????2 1( 2 ) e xp u u ,2p? ? ?? ??? ????, 1 , 2 , ,iu i p? ? ? ? ? ? ?u的均值和協(xié)方差矩陣分別為 12( u ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) 0pE E u E u E u ???12( u ) ( ( ) , ( ) , , ( ) )pV d ia g V u V u V u I???u的分布稱為均值為 0，協(xié)方差矩陣為 I 的 p 元正態(tài)分布 ，記作 u ~ ( 0 , )pNI多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 x的分布稱為 非退化的 p 元正態(tài)分布 ，記作 x ~ ( , )pN ? ? 更一般的， 設(shè) p 維隨機向量 u ~ Np (0, I ) ， 為常數(shù)矩陣，則 x ? ? ? A u 的分布稱為 p 元正態(tài)分布 ，記作 x ~ ( , )pN ? ?pqA?其中 . 若 rank(A) = p ，則 ??1 存在， 此時 x的分布稱為非退化的 p元正態(tài)分布；若 rank(A) p ，則 ??1 不 存在，此時 x的分布稱為 退化的 p元正態(tài)分布 ，不存在概率密度 . AA???多元統(tǒng)計分析 169。 21 1 221 2 2.? ? ? ?? ? ? ????? ????x的概率密度為 122 2 11( x ) ( 2 ) e x p ( x ) ( x )2f ? ? ???? ?? ?? ? ? ? ? ?????221 1 1 1 2 2 2 2221 1 2 21211 e x p 2 ,2 ( 1 )21x x x x? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?????12,.xx? ? ? ? ? ?多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 多元統(tǒng)計分析 169。 第二節(jié) 多元正態(tài)分布的性質(zhì) 2 ． 設(shè) x ~ ( , ) , y xpN C b? ? ? ?，其中 C 為 rp? 常數(shù)矩陣， b 為 r 維常數(shù)向量，則 y ~ ( , )rN C b C C? ??? 多元統(tǒng)計分析 169。 21 1 221 2 2.? ? ? ?? ? ? ????? ????221 2 1 2 1 2 1 2~ ( , 2 )x x N ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?x ~ ( , )a N a a a?? ? ??多元統(tǒng)計分析 169。 注意： 性質(zhì) 3說明了多元正態(tài)分布的任何邊際分布仍為多元正態(tài)分布 ， 但反之不成立 。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 例 3 . 2. 4 設(shè)4x ~ ( , )N ? ?， 這里 1234xxxxx?????????????，1234??????????????????，11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????? 則 ( 1 ) ~ ( , ) , 1 , 2 , 3 , 4 。x Nx ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???4 4 44 41 431 3 1 14 11 133 3 34 31 33( 3 ) ~ , .xxNx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 7 ． 設(shè) x ~ ( , )pN ? ?