【正文】 譜曲線。然而，由于地面水平運(yùn)動(dòng)的加速度極不規(guī)則， 無(wú)法用簡(jiǎn)單的解析式來(lái)計(jì)算，故在計(jì)算 時(shí)，一般采用數(shù)值積分法。因此 可以認(rèn)為這一相對(duì)位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真實(shí)作用于 質(zhì)點(diǎn)上的力，但慣性力對(duì)結(jié)構(gòu)的作用和地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用效果相當(dāng)，所以可以認(rèn)為 是一種反映地震影響效果的等效力，利用它的最大值來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震驗(yàn)算，就可 以使抗震設(shè)計(jì)這一動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于靜力荷載作用下的靜力計(jì)算問(wèn)題。由于結(jié)構(gòu)所有的地震作用 （即質(zhì)點(diǎn)上的慣性力）與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度直接相關(guān)，因此工程抗震領(lǐng)域，常采用 加速度反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用。 解 ：直接由式 (a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑 (d) 煙囪kmT ??? 22 ??并采用國(guó)際單位可得 : skmT 10/1011 0 0 0 02223 ???? ??? II—— 瞬時(shí)沖量 沖量等于動(dòng)量的增量 0mvmvP d t ?? mPdtv?自由振動(dòng) 0)0( ?xmPdtx ?)0(?tmP d tetx t ???? ??? ? s in)(]s i n)0()0(c o s)0([)( txxtxetx t ??????? ?????? ? ?求解方法： 將地面運(yùn)動(dòng)分解為很多個(gè)脈沖運(yùn)動(dòng) ??t 時(shí)刻的地面運(yùn)動(dòng)脈沖 III —— 一般強(qiáng)迫振動(dòng) )()()(2)( 02 txtxtxtx ????? ???? ????? dx )(0???引起的體系反應(yīng)為： 疊加：體系在 t時(shí)刻的地震反應(yīng)為： 方程通解（單自由度體系）： 體系地震反應(yīng)（通解） =自由振動(dòng)（齊次解） +強(qiáng)迫振動(dòng)（特解） 初位移、初速度引起 迅速衰減，可不考慮 地面運(yùn)動(dòng)引起 地面運(yùn)動(dòng)脈沖引起的單自由度體系反應(yīng) 杜哈密積分 ???? ???? dtxetdx t )(s i n)()( 0)( ????? ?? ??????? ??? dtextdxtx ttt )(s i n)(1)()( )(0 00?????? ???? ??tmP d tetx t ???? ??? ? s in)(在實(shí)際計(jì)算中可以近似地取 ?? ??????? ??? dtextx tt )(s i n)(1)( )(0 0 ??? ??? ????????? ??? ????? dtextxxtxetx ttt )(s i n)(1]s i n)0()0(c o s)0([)( )(0 0 ?????????? ??? ? ???通解 167。因此有 阻尼頻率與無(wú)阻尼頻率相差不大，在實(shí)際計(jì)算中可以近似地取 ~???? ??例題 31 kg1 0 0 0 0?m k N /c m1?k已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡(jiǎn)化為單自由度體系（見(jiàn)圖）。但由于體系的運(yùn)動(dòng)是往復(fù)的，指點(diǎn)每振動(dòng)一個(gè)循環(huán)所需要的時(shí)間 間隔是相等的，因此就把這個(gè)時(shí)間間隔稱為有阻尼體系的周期 ?????2T 21 ??? ???有阻尼時(shí)的自振頻率小于無(wú)阻尼時(shí)的自振頻率，這說(shuō)明由于阻尼的存在，將使結(jié)構(gòu) 的自振頻率減小，周期增大。 初始條件 : )0(0 xx ? )0(0 xx ?? ?, 初始速度 01 xc ?Dxxc??? 002?? ?則 體系自由振動(dòng)位移時(shí)程 ]s i nc o s[)( 000 txxtxetx DDDt ??????? ??? ? ?初始位移 當(dāng) （無(wú)阻尼） 0??00( ) c o s s i nxx t x t t?????km? ?—— 固有頻率，體系的圓頻率，質(zhì)點(diǎn)在 2π時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù) kmT ??? 22 ?? —— 固有周期 無(wú)阻尼單自由度體系 自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 自振的振幅將不斷衰減，直至消失 有阻尼體系 無(wú)阻尼體系自由振動(dòng)時(shí)的振幅不變，而有阻尼體系自由振動(dòng)的曲線則是一條逐漸衰 減的波動(dòng)曲線，即振幅隨時(shí)間的增加而減小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減 就越快。其阻尼大小小于過(guò)阻尼，而大于欠阻尼。過(guò)阻尼的振動(dòng)方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積，而臨界阻尼的振動(dòng)方程是正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。 過(guò)阻尼 臨界阻尼 欠阻尼、過(guò)阻尼使振動(dòng)回到平衡位置所需時(shí)間都較長(zhǎng)，那怎樣使所需時(shí)間最短呢？當(dāng)阻尼取一個(gè)特定的值的時(shí)候，振動(dòng)會(huì)很快地靠近平衡位置，但又不越過(guò)平衡位置。這種振動(dòng)的方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。為什么又要 “ 緩慢地 ” ？是因?yàn)樽枘徇^(guò)大，所以這阻礙了振動(dòng)向平衡位置的移動(dòng)，導(dǎo)致這種阻尼振動(dòng)的停止也很緩慢。振動(dòng)曲線如圖所示。經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間后，振動(dòng) 停止。此時(shí)系統(tǒng)將做振幅逐漸減小的周期性阻尼振動(dòng)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到平衡 位置，這樣的運(yùn)動(dòng)叫過(guò)阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較小 ，則要振動(dòng)很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達(dá)到平衡 位置，這叫做“欠阻尼”狀態(tài)。阻尼力有集中不同的 理論，目前應(yīng)用最廣泛的是所謂的粘滯阻溺理論，它假定阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)的 速度成正比 )]()([)( 0 txtxmtI ???? ???)()( tkxtS ??)()( txctD ???根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，物體在運(yùn)動(dòng)中的任意瞬時(shí)，作用在物體上的外力與慣性力互相 平衡 力的平衡條件： 令 km? ? mc?? 2?二、運(yùn)動(dòng)方程的解 —— 自由振動(dòng) 齊次方程 ： 02 2 ??? xxx ??? ???自由振動(dòng)：在沒(méi)有外界激勵(lì)的情況下結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng) )()()()( 0 txmtkxtxctxm ????? ????)()()(2)( 02 txtxtxtx ????? ???? ???0)()()( ??? tItDtS01??? 為共軛復(fù)數(shù) ， （ 2）若 方程的解： 特征方程 0222 ??? ??? rr 特征根 121 ???? ????r122 ???? ????r（ 4）若 ， 、 為負(fù)實(shí)數(shù) 1?? 1r 2r trtr ecectx 21 21)( ??1?? ????? 21 rr tetcctx ????? )()( 21（ 3）若 ， 1r 2r、 )s i nc o s()( 21 tctcetx DDt ???? ?? ?物體從開(kāi)始的最大位移處緩慢地逼近平衡位置， 完全不可能再作往復(fù)振動(dòng) —— 過(guò)阻尼狀態(tài) 物體從開(kāi)始的最大位移處快速逼近平衡位置 —— 臨界阻尼狀態(tài) 體系產(chǎn)生振動(dòng) —— 欠阻尼狀態(tài) 21 ??? ??D其中 圖 各種阻尼下單自由度體系的自由振動(dòng) 當(dāng) 1??臨界阻尼系數(shù)： mcr ?2?臨界阻尼比（簡(jiǎn)稱阻尼比） rcc??（ 1）若 t x(t) 0 = ? 1 ? ? ? 0 1 ? ? 12( ) c o s s inx t c t c t????1??0??體系產(chǎn)生振動(dòng) —— 無(wú)阻尼狀態(tài) 任何一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng) 阻尼 增加到一定程度時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)是 非周期性的，物體振動(dòng)連一次都不能完成，只是慢慢地回到平 衡位置就停止了。 概述 1. 連續(xù)化描述（分布質(zhì)量） 三、 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖及體系自由度 描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的兩種方法 采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖 （步驟）： 2. 集中化描述（集中質(zhì)量） 工程上常用 定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中 位置（質(zhì)心） 將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心； 將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)上去 集中化描述舉例 a、水塔建筑 (a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑 (d) 煙囪主要質(zhì)量：水箱部分 次要質(zhì)量：塔柱部分 水箱全部質(zhì)量 部分塔柱質(zhì)量 集中到水箱質(zhì)心 單質(zhì)點(diǎn)體系 b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板） (a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑 (d) 煙囪主要質(zhì)量：屋面部分 廠房各跨質(zhì)量 集中到各跨屋蓋標(biāo)高處 集中化描述舉例 c、多、高層建筑 主要質(zhì)量：樓蓋部分 多質(zhì)點(diǎn)體系 d、煙囪 結(jié)構(gòu)無(wú)主要質(zhì)量部分 結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域 集中到各區(qū)域質(zhì)心 (a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑 (d) 煙囪(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑 (d) 煙囪多質(zhì)點(diǎn)體系 167。 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和有限元理論的發(fā)展，利用大型有限元軟件如 Ansys, 泛的應(yīng)用。 動(dòng)力理論是直接通過(guò)動(dòng)力方程采取逐步積分法求解出地震反應(yīng)與時(shí)間的關(guān) 系曲線，這條曲線成為時(shí)程曲線，因此該方法又稱為時(shí)程分析法。由于反應(yīng)譜可計(jì)算出最大地震作用，然后按 靜分析法計(jì)算地震反，所以仍屬于靜力法。 167。第三章 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析 與抗震計(jì)算 概述 單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分析 單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜 多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析 多自由度彈性體系最大地震反應(yīng)與水平地震作用 豎向地震作用 結(jié)構(gòu)平扭耦合地震反應(yīng)與雙向水平地震影響 結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析 結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算 167。 概述 由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形、 位移及結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度與加速度等 一、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) ： 由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)位移 地面運(yùn)動(dòng) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性：自振周期，振型和阻尼 ： 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) 影響因素 結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)就是指在地震作用下在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸向力 和位移等。 概述 ： 能引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形等反應(yīng)的各種因素 二、地震作用 作用分類 —— 各種荷載：如重力、風(fēng)載、土壓力等 —— 各種非荷載作用：如溫度、基礎(chǔ)沉降、地震等 等效地震荷載 ：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用 作用 直接作用 間接作用 結(jié)構(gòu)的地震作用 :地震時(shí)，由于地面運(yùn)動(dòng)使原來(lái)處于靜止的結(jié)構(gòu)受到動(dòng)力作 用，產(chǎn)生受迫振動(dòng)，由于地面的強(qiáng)迫振動(dòng)在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的慣性力 地震作用的確定：反應(yīng)譜理論和動(dòng)力理論 反應(yīng)譜理論：將多個(gè)實(shí)測(cè)的地面振動(dòng)波分別代入單自由度反應(yīng)方程，計(jì)算出 各自最大彈性地震反應(yīng)（加速度、速度、位移），從而得出結(jié)構(gòu)最大地震 反應(yīng)與該結(jié)構(gòu)自振周期的關(guān)系曲線，這個(gè)曲線就是反應(yīng)譜，在工程中應(yīng)用 比較廣泛的是加速度反應(yīng)譜。但由于反應(yīng)批理論較真實(shí)地考 慮了結(jié)構(gòu)振動(dòng)特點(diǎn)，計(jì)算簡(jiǎn)單實(shí)用，因此目前是各國(guó)建筑抗震規(guī)范中給出 的一種主要抗震分析方法。時(shí)程分 析法能更真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)隨時(shí)間變化的全過(guò)程，并可處理強(qiáng)震下 結(jié)構(gòu)的彈塑性變形，因此已成為抗震分析的一種重要方法，但由于時(shí)程法 只能使用特定的地震波，而且計(jì)算分析量大，因此目前我國(guó)規(guī)范仍主要采 用反應(yīng)譜法進(jìn)行抗震分析。 167。 單自由度彈性體系的地震反應(yīng) 一、運(yùn)動(dòng)方程 cf地面水平運(yùn)動(dòng)的位移 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地面的水平位移 質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)位移 相應(yīng)的絕對(duì)加速度 )(0 tx)(tx)()(0 txtx ?)()(0 txtx ???? ?慣性力 I為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 m與絕對(duì)加速度的乘積 彈性恢復(fù)力 S是使質(zhì)點(diǎn)從振動(dòng)位置恢復(fù)到平衡位置的一種力，它的大小與質(zhì)點(diǎn) 離開(kāi)平衡位置的位移成正比 阻尼力 D是一種使結(jié)構(gòu)振動(dòng)不斷衰減的力，即結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中，由于材料的內(nèi) 摩擦、構(gòu)件連接處的摩擦、地基土的內(nèi)摩擦以及周圍介質(zhì)對(duì)振動(dòng)的阻力等，使得 結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量受到損耗而導(dǎo)致其振幅逐漸衰減的一種力。當(dāng)阻力使振動(dòng)物體剛能不作周期性振動(dòng)而又 能最快地回到平衡位置的情況，稱為“臨界阻尼”，或中肯阻 尼狀態(tài)。 所謂 “ 欠 ” 阻尼，說(shuō)明阻尼不夠大，因此這個(gè)阻尼并不足以阻止振動(dòng)越過(guò)平 衡位置。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)被不斷 阻礙，所以振幅減衰，并且振動(dòng)周期也是越來(lái)越長(zhǎng)。此時(shí)的振動(dòng)方程是正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。 欠阻尼 圖所 所謂 “ 過(guò) ” 阻尼，說(shuō)明阻尼太大，振動(dòng)根本無(wú)法越過(guò)平衡位置，只能以非周期運(yùn)動(dòng)形式緩慢地向平衡位置移動(dòng)。此時(shí)已經(jīng)沒(méi)有振幅、周期一說(shuō)了。振動(dòng)曲線如圖所示。這種振動(dòng)的振動(dòng)曲線似乎和過(guò)阻尼很像，但它們的振動(dòng)方程完全不一樣。三種阻尼振動(dòng)中，以臨界阻尼回到平衡位置所需時(shí)間最短。所以，在各種需要盡快停止振動(dòng)的地方，都盡力地調(diào)節(jié)其振動(dòng)的頻率、阻尼大小，使其達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，最大程度地消除振動(dòng)的影響。 嚴(yán)格地說(shuō)，有阻尼單自由度體系的自由振動(dòng)不具有周期性，因?yàn)轶w系在自由振動(dòng)過(guò)程 中其振幅不斷衰減。 在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，阻尼比的數(shù)值一般都很小，其值大約 在之間。 ， 求該結(jié)構(gòu)的自振周期。 反應(yīng)譜是指單自由度體系最大地震反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線，根據(jù)反應(yīng)量的 不同，又分為位移反應(yīng)譜、速度反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜。 一、水平地震作用的定義 地震作用就是地震時(shí)結(jié)構(gòu)上受到的慣