【正文】 及推論，得 ，其中例4. 計(jì)算行列式的值。：.解: 行列式按行（列）展開 定義 在階行列式中，把元素所處的第行、第列劃去，剩下的元素按原排列構(gòu)成的階行列式，稱為的余子式，記為；而稱為的代數(shù)余子式. 引理 如果階行列式中的第行除外其余元素均為零，即： .則：. 證 先證簡單情形： 再證一般情形： 定理 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)再加到另一行（列）上，則該行列式不變. 二、階行列式的計(jì)算：例1. 計(jì)算.解： .例2. . (推廣至階，總結(jié)一般方法)例3. 證明：.證明： 左端.例4. 計(jì)算階行列式.(利用遞推法計(jì)算)例5. ， 證明： .回顧和小結(jié)小結(jié)：對換和階行列式的性質(zhì)與計(jì)算1. 對換的定義及兩個(gè)定理。 行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零. 性質(zhì) 5：推論： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù) ,等于用數(shù)乘以該行列式. 推論： 行列式互換兩行（列），行列式變號(hào). 行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式的定義 記 = ()行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、階行列式的性質(zhì)性質(zhì) 1： 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換,排列改變奇偶性. 推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明 ： 由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立定理2復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題： .作業(yè)題：習(xí)題一：第1（1,3）、2（2,4,6）實(shí)施情況及分析、三階行列式和全排列及的定義概念,會(huì)計(jì)算二、三階行列式；.第（ 2 ）次課 授課時(shí)間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第四、五節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編1. 教學(xué)目的：掌握對換的概念；掌握階行列式的性質(zhì)，會(huì)利用階行列式 的性質(zhì)計(jì)算階行列式的值；2. 教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)；3. 教學(xué)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì).1. 教學(xué)內(nèi)容：對換；行列式的性質(zhì)；2. 時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容備注第四節(jié)同理將中第二列的元素a 12,a 22 換成常數(shù)項(xiàng)b1,b2 ,可得到另一個(gè)行列式,用字母表示,于是有 按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。第（1）次課 授課時(shí)間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書1.《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編1. 教學(xué)目的：熟練掌握2階,3階行列式的計(jì)算； 掌握逆序數(shù)的定義, 并會(huì)計(jì)算；掌握階行列式的定義；2. 教學(xué)重點(diǎn)：逆序數(shù)的計(jì)算；：逆序數(shù)的計(jì)算. ：二、三階行列式的定義；全排列及其逆序數(shù)；階行列式的定義：2學(xué)時(shí)；：講授與討論相結(jié)合；：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容備注第一節(jié) 二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義 從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。設(shè)二元線性方程組 用消元法,當(dāng) 時(shí),解得 令 ,稱為二階行列式 ,則 如果將D中第一列的元素, 換成常數(shù)項(xiàng), ,則可得到另一個(gè)行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為 其中例1. 解線性方程組 同樣,在解三元一次方程組時(shí),要用到“三階行列式”,這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義 設(shè)三元線性方程組用消元法解得 定義 設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表 記 ,稱為三階行列式,則 三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和,也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào),從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào),即例2. 計(jì)算三階行列式 .(14)例3. 求解方程（）例4. 解線性方程組 解 先計(jì)算系數(shù)行列式 再計(jì)算 ,得 ,第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù)引例：用3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的三位數(shù)？一、全排列 把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這個(gè)元素的全排列（簡稱排列）.可將個(gè)不同元素按進(jìn)行編號(hào),則個(gè)不同元素的全排列可看成這個(gè)自然數(shù)的全排列.個(gè)不同元素的全排列共有種. 二、逆序及逆序數(shù) 逆序的定義：取一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,其它排列中某兩個(gè)元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這兩個(gè)元素的次序相反時(shí),則稱有一個(gè)逆序.通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,即的全排列中取為標(biāo)準(zhǔn)排列. 逆序數(shù)的定義：一個(gè)排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列. 例1: 討論的全排列. 全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計(jì)算：設(shè)為的一個(gè)全排列,則其逆序數(shù)為 .其中為排在 前,且比大的數(shù)的個(gè)數(shù). 例2：求排列的逆序數(shù). 解：(對于逆序數(shù)的計(jì)算介紹另一種算法)第三節(jié) 階行列式的定義下面可用全排列的方式改寫二階,三階行列式. 二階行列式 .其中： ① 是 的全排列,②是的逆序數(shù),③是對所有的全排列求和. 三階行列式 其中:①是的全排列,②是的逆序數(shù),③是對所有的全排列求和. 其中:① 是的全排列,②是的逆序數(shù), ③是對所有的全排列求和. : （其對角線上的元素是,未寫出的元素都為0）, 證明: 按定義式.證明:按定義式得.以上,階行列式的定義式,是利用行列式的第一行元素來定義行列式的,這個(gè)式子通常稱為行列式按第一行元素的展開式. 回顧和小結(jié)小結(jié)：1. 二三階行列式的定義； 2. 全排列及其逆序數(shù)； 3. 階行列式的定義。 對換 對換的定義：在排列中,將任意兩個(gè)元素對調(diào),其余元素不動(dòng),這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個(gè)元素對調(diào),叫做相鄰對換．例： ——.定理1：階行列式為： 其中為的逆序數(shù).（以4階行列式為例,對證明過程作以說明）（補(bǔ)充）定理3 階行列式也可定義為其中和 是兩個(gè)級(jí)排列,為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.練習(xí)：試判斷和是否都是六階行列式中的項(xiàng).第五節(jié) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，對列也同樣成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，,交換i,j兩列記作.性質(zhì) 2：行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零. 性質(zhì) 3：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)外. 性質(zhì) 4： 若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和. 即若 則 +.性質(zhì) 6： 2. 階行列式的性質(zhì)與計(jì)算；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：,問相當(dāng)于作幾次相鄰對換？把排列12345作偶數(shù)次對換后得到的新排列是奇排列還是偶排列？： .作業(yè)題：習(xí)題一：第3，4（2，4）,5(2,4,5)實(shí)施情況及分析；.第（ 3 ）次課 授課時(shí)間（ ）教學(xué)章節(jié)第一章第六節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書1.《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編；1. 教學(xué)目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；2. 教學(xué)重點(diǎn)：行列式按行（列）展開；3. 教學(xué)難點(diǎn)：行列式按行（列）展開.1. 教學(xué)內(nèi)容：行列式按行（列）展開；2. 時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 基本內(nèi)容備注 第六節(jié)行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 按行： 按列： 證： （此定理稱為行列式按行（列）展開定理）例1例2: 解: .從而解得 .例3．證明范德蒙行列式.其中，記號(hào)“”表示全體同類因子的乘積.證 用歸納法因?yàn)?所以，當(dāng)n=2時(shí)，（4）式成立.現(xiàn)設(shè)（4）式對時(shí)成立，設(shè)法把降階；從第行開始，后行減去前行的倍，有（按第一列展開，并提出因子）階范德蒙行列式=定理的推論 回顧和小結(jié)小結(jié)：行列式按行（列）展開。 2. 行列式按行（列）展開。 克拉默法則 含有個(gè)未知數(shù)的個(gè)方程的線性方程組 （1）與二、三元線性方程組相類似,即, (2)其中是把系數(shù)行列式中的第列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替,齊次線性方程組必定有解(）.根據(jù)克拉默法則,有 1．齊次線性方程組的系數(shù)行列式時(shí),則它的系數(shù)行列式. 例1．求解線性方程組解:系數(shù)行列式同樣可以計(jì)算 ,個(gè)方程3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。,問應(yīng)取何值？解 系數(shù)行列式由： .復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時(shí)方程組的解為何?作業(yè)題：習(xí)題一第8（2）、9（2,了解克拉默法則的證明《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題解析》。：矩陣；矩陣的運(yùn)算；：2學(xué)時(shí)；：講授與討論相結(jié)合；：黑板講解與多媒體演示。 例如，公司的統(tǒng)計(jì)報(bào)表,學(xué)生成績登記表等,都可寫出相應(yīng)的矩陣。 則稱矩陣與相等,記成。這種從變量到變量的變換稱為線性變換。上式的系數(shù)可構(gòu)成一個(gè)矩陣 稱之為線性變換的系數(shù)矩陣。如,直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換（變量到變量的變換）的系數(shù)矩陣為 .恒等變換 的系數(shù)矩陣為 例. 同樣，齊次線性方程組 與系數(shù)矩陣 ，也是一一對應(yīng)的. 非齊次線性方程組與增廣矩陣 也是一一對應(yīng)的。 顯然 ① ， ②， ③三、乘法 乘法運(yùn)算比較復(fù)雜,首先看一個(gè)例子 設(shè)變量 到變量的線性變換為 變量 到變量的線性變換為 那么,變量 到變量的線性變換應(yīng)為 即定義矩陣 和 的乘積為 設(shè) ，,則乘法定義為 其中 注：兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的第行，第列元素為前一個(gè)矩陣的第行元素與后一個(gè)矩陣的第行元素對應(yīng)相乘再相加。解： ，由此發(fā)現(xiàn)：（1），（不滿足交換律） （2），但卻有。 下列性質(zhì)顯然成立： ① ，②，② ,幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果： 1 . ；2. ；3 .若為矩陣,是階單位陣,則。 顯然， ① ，② ，③ ，④ 。 五、方陣的行列式 為階方陣，其元素構(gòu)成的階行列式稱為方陣的行列式,記為或。 記 ， 其中是的代數(shù)余子式,稱為的伴隨陣. 證明：. 證明 設(shè) 設(shè) 為階實(shí)方陣,且,求 . 解：注意到 由 ，得，由于 ,故. 六、共軛矩陣 為復(fù)矩陣, 為 的共軛復(fù)數(shù),則稱為 的共軛矩陣. 顯然, ① ,② ,③回顧和小結(jié)小 結(jié)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算： 1. 矩陣的概念。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：?2. 設(shè)與為階方陣，問等式 成立的充要條件是什么?作業(yè)題：習(xí)題二第4（2，3，5）、7實(shí)施情況及分析 1 .通過學(xué)習(xí)使學(xué)員理解矩陣的概念,掌握了矩陣的運(yùn)算； .第（6）次課 授課時(shí)間（ ）教學(xué)章