【正文】 特征方程的部分特征根 ， 而且這部分特征根對(duì)稱于原點(diǎn) ， 即必有虛根或右根 。 2)某行的各系數(shù)全為零 這種情況下 ， 勞斯表的計(jì)算工作也由于出現(xiàn)無(wú)窮大而無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行 。 （ 右極點(diǎn) ， 不包括臨界極點(diǎn) ） 勞斯陣計(jì)算過(guò)程中的兩種特殊情況： 1） 某行的第一列系數(shù)為零 ， 而其余各系數(shù)不為零或不全為零 這種情況下 ， 在計(jì)算下一行時(shí)將得到無(wú)窮大 ， 致使勞斯陣的計(jì)算工作無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行或不好判別 。 在展開勞斯陣列的過(guò)程中，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整行，不會(huì)改變所得的結(jié)論。上述計(jì)算一直進(jìn)行到第 n行 ， 即旁邊注有 s1的行為止 。 0... 0111 ????? ?? asasasa nnnn勞斯陣的形式為 ┇ …… …… …… …… ┇ ┇ ns1?ns2?ns3?ns4?nsna1?na1b2?na3?na2b2c2d1c1d1e1f0a2s1s0s4?na5?na3b3c3d 2e 勞斯陣的前兩行由特征方程式的系數(shù)組成：第一行由第 5 …… 項(xiàng)系數(shù)組成；第二行由第 6…… 項(xiàng)系數(shù)組成。 ① 一階 、 二階系統(tǒng) 可以直接求解特征方程的根 ② 確定具有全部負(fù)實(shí)部特征根的系統(tǒng)參數(shù)的范圍 （ 間接 ） 勞斯 、 奈氏 、 伯德圖 三 、勞斯穩(wěn)定判據(jù) 勞斯穩(wěn)定判據(jù)是利用特征方程式的根與系數(shù)的關(guān)系 ， 間接判斷是否有位于復(fù)平面右半部的根 ， 從而判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。 )(t?)(tc??t0)(lim ??? tct 設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù) 則 稱為極點(diǎn) 處的留數(shù) 的充分必要條件是 是衰減函數(shù) ， 具有負(fù)實(shí)部 。 這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下 ， 輸出信號(hào)偏離原平衡點(diǎn)的問(wèn)題 。 二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 上述穩(wěn)定性定義表明 ， 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性 ， 而與外界條件無(wú)關(guān) 。 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念包括 絕對(duì)穩(wěn)定性 與 相對(duì)穩(wěn)定性 。 漸近穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一種特征 。點(diǎn) ， 當(dāng)小球受到外力 ， 偏離原來(lái)的位置 ， 外力消除之后小球也不能回到原來(lái)的位置 ， 則小球系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 若系統(tǒng)能恢復(fù)平衡狀態(tài) ， 就稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失以后不能恢復(fù)平衡狀態(tài) ， 且偏差越來(lái)越大 ，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 一、穩(wěn)定的概念 任何控制系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都會(huì)偏離平衡狀態(tài) ， 產(chǎn)生初始偏差 。 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的基本任務(wù)之一。 緒論 穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)應(yīng)滿足的性能指標(biāo)要求有很多，但首要的要求是系統(tǒng)在全部時(shí)間范圍內(nèi)必須能穩(wěn)定工作。 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能可以通過(guò)在典型輸入信號(hào)作用下控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià) ，主要分析研究一階系統(tǒng) 、 二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程 。 ? 時(shí)域 （ Time Domain） 分析法是在一定的輸入條件下 ， 根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù) ， 使用拉氏變換直接求解在某種典型輸入作用下 ， 自動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng) （ Time Response） 的表達(dá)式 ， 從而得到控制系統(tǒng)直觀而精確的輸出時(shí)間響應(yīng)曲線 c(t)和性能指標(biāo) （ 描述曲線來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 、 動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性 ） 。 第 3章 ——自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 典型輸入和階躍響應(yīng)性能指標(biāo) 一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤差分析 基本控制規(guī)律 ? 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立之后 ， 就可以分析控制系統(tǒng)的性能 。 在經(jīng)典控制理論中 ， 常采用時(shí)城分析法 、 根軌跡法或頻率響應(yīng)法來(lái)分析并綜合線性定常系統(tǒng)的性能 。 ? 本章的內(nèi)容是分析研究控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能 。 并對(duì)高階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程作適當(dāng)?shù)慕榻B 。因?yàn)?，一個(gè)控制系統(tǒng)一旦受到外界或內(nèi)部擾動(dòng)（如負(fù)載變化、電壓波動(dòng)等）就會(huì)偏離原來(lái)的工作狀態(tài)；如果系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)越來(lái)越遠(yuǎn)，當(dāng)擾動(dòng)消失后也不能恢復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)，顯然這種系統(tǒng)是無(wú)法工作的，故穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，是系統(tǒng)能夠正常工作的 首要條件 。 本節(jié)主要研究線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的概念、控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件和穩(wěn)定性的代數(shù)判定方法。所謂 穩(wěn)定性 就是指系統(tǒng)當(dāng)擾動(dòng)作用消失以后 ， 由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性能 。 下圖 （ a） 所示 ， 一個(gè)小球放在一個(gè)凹面上 ， 原平衡位置在 A點(diǎn) ，當(dāng)小球受到外力偏離 A點(diǎn) ， 如移到 B點(diǎn) ， 當(dāng)外力消除之后 ， 小球經(jīng)過(guò)來(lái)回幾次振蕩 ， 最終回到原平衡位置 ， 則小球系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之 ，圖 （ b） 所示 ， 將小球放在一個(gè)凸面上 A180。 系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后 ， 能夠隨著時(shí)間的推移恢復(fù)原平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 ， 稱為 漸近穩(wěn)定性 。 也就是說(shuō)如果線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ， 必定是漸近穩(wěn)定的 。 絕對(duì)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定與否 ， 而相對(duì)穩(wěn)定性是指在絕對(duì)穩(wěn)定的前提下 ，系統(tǒng)穩(wěn)定的程度 。 因此 ， 設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí) ， 作用一個(gè)理想單位脈沖 ， 這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng) 。 若 時(shí) ， 脈沖響應(yīng) 即輸出增量收斂于原平衡點(diǎn) ， 則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 ?????????? njjmiipszsKsRsCs11)()()()()(? ? 1)()( ?? tLsR ??????????? njjmiipszsKssC11)()()()(? ? ????????? ???????????????????njtpjnjjmiijeapszsKLsLtc11111)()()()(ja jps ??0)(lim ??? tct jp?tpje? 充分必要條件 系統(tǒng)特征方程的根 （ 即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) ） 均為負(fù)實(shí)部和（ 或 ） 具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù) （ 也就是說(shuō) ， 系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點(diǎn)都在復(fù)數(shù)平面虛軸的左半部 ） 。 (Routh Stability Criterion) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為 則線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為特征方程的全部系數(shù)為正值 ， 并且由特征方程系數(shù)組成的勞斯陣的第一列的系數(shù)也為正值 。以下各行系數(shù)由下列公式計(jì)算： 在勞斯陣的第一行旁邊注明 sn， 第二行旁邊注明 sn1 …… 。 勞斯陣的排列成倒三角形 。 13211???? ??nnnnn a aaaab15412???? ??nnnnn a aaaab17613???? ??nnnnn a aaaab112311 b ababc nn ?? ??113512 b ababc nn ?? ??114713 b ababc nn ?? ??結(jié)論：勞斯表第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)為具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù) 。 為了解決這個(gè)問(wèn)題 ， 可以用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替等于零的該第一列系數(shù) 。 為了解決這個(gè)問(wèn)題 ， 可以利用各元為零的那一行的上一行各元作為系數(shù) ， 構(gòu)成一個(gè)輔助方程 ，再用輔助方程求導(dǎo)一次后的系數(shù)來(lái)代替各元為零的那一行 。 因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 解 列勞斯表 0012233 ???? asasasa3a2a1a0a20321 a aaaa ?0a0 ∴ 勞斯表的第一列系數(shù)有兩次變號(hào) ， 故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定 ， 且有2個(gè)正實(shí)部根 例 2已知線性系統(tǒng)的特征方程如下 ， 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 因此 ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 ， 特征方程有兩個(gè)右根 。其特征方程為 解 列勞斯表 04632 234 ????? ssssS6 S5 S4 S3 S2 S1 S0 1 5 8 4 1 3 2 0 2 6 4 0 （輔助方程 ） 0(8) 0(12) 0(0)將輔助方程求導(dǎo)一次，得 3 4 0 4/3 0 4 0462 24 ???? ss0128 3 ?? ss求解 得： s1， 2=177。 j 故所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩對(duì)共軛虛根 0462 24 ??? ss 2 例 4 試判別某系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 KP：臨界放大系數(shù) .使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù)的臨界值 。 解 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： 根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) ， 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù) K的取值范圍為： 0K14 開環(huán)臨界放大系數(shù)為： K p=14。 一般來(lái)說(shuō) ， σ 愈大則系統(tǒng)的穩(wěn)定度愈高 。 若滿足穩(wěn)定的充要條件 ， 則該系統(tǒng)的特征根都落在 s平面中 s=σ直線的左半部分 ， 即具有 σ以上的穩(wěn)定裕度 。 解： 將 代入原系統(tǒng)的特征方程，得 整理得 根據(jù)勞斯判據(jù)，穩(wěn)定的充要條件是 則 1??1?? zs040)1(40)1(14)1( 23 ??????? Kzzz0)2740(1511 23 ????? Kzzz?????????0)2740(151102740KK 7 ?? K 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn) ① 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)： 特征方程： 其中： 有缺項(xiàng) （ 缺項(xiàng) ） ， 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 這種僅僅通過(guò)調(diào)整參數(shù)無(wú)法穩(wěn)定的系統(tǒng) ， 稱為 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 )1()( 2 21 ?? sTs KKKsG m m023 ??? KssT m 21 KKKK m?1s情況：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)其前向通路包含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的積分環(huán)節(jié) 方法： （ 1） 改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì) （ 加入局部反饋 KH） 用反饋包圍積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)變?yōu)椋? 慣性環(huán)節(jié) 總前向通道傳遞函數(shù)為： 特征方程： 不再缺項(xiàng) ， 只要適當(dāng)選擇參數(shù) ， 便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定 。 023 ???? KsKssT dm ?0?mT 0?K md T?? 典型輸入和階躍響應(yīng)性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)性能的評(píng)價(jià)分為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩類 。 然而 ， 在一般情況下 ，控制系統(tǒng)的外加輸入信號(hào)具有隨機(jī)性而無(wú)法預(yù)先確定 ， 因而在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí) ， 需要有一個(gè)對(duì)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn) ， 這個(gè)基準(zhǔn)就是系統(tǒng)對(duì)預(yù)先規(guī)定的具有典型意義的試驗(yàn)信號(hào) ， 即典型輸入信號(hào)的響應(yīng) 。 選取的典型輸入信號(hào)的原則： ① 典型性 ， 能充分反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能； ② 簡(jiǎn)單 ， 便于分析 ， 處理； ③ 能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號(hào) 設(shè)描述線性定常系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 φ(s)， R(s)表