泰勒公式與極值問題-展示頁
2025-05-08 13:21本頁面
【正文】 ( ???? r 注意利用 已有公式 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22yu?????????2222yuxu?21r?22xu??rruru ????22s i nc o ss i n2??????rruru ????22c o sc o ss i n2??????同理可得 22ru??2221???? ur?22)(???????? ururrr22222222 c o sc o ss i n2s i nrurruru ?????? ??????????題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、中值定理與泰勒公式 一元函數(shù) )(xf 的泰勒公式 : ????????? 20220 !2 )()()()( hxfhxfxfhxfnnhn xf ! )( 0)(?)10( ?? ?推廣 多元函數(shù)泰勒公式 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 記號 (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ): ),()( 00 yxfykxh ?????),()( 002 yxfykxh ?????),()( 00 yxfykxh m?????),(),( 0000 yxfkyxfh yx ?表示),(),(2),( 00202202 yxfkyxfkhyxfh yyyxxx ??),(C 000 yxyxfkhpmpmpmpmppm ??? ????? 一般地 , 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ? 表示 表示 定理 1. ),(),( 00 yxyxfz 在點(diǎn)設(shè) ? 的某一鄰域內(nèi)有直 到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , ),( 00 kyhx ?? 為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn) , 則有 ),(),( 0000 yxfkyhxf ??? ),()( 00 yxfkh yx ???? ?????? ???? ),()( 002!21 yxfkh yx),()( 00!1 yxfkh nyxn ???? ??),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn ?? ???? ??????)10( ?? ?nR?其中 ① ② ① 稱為 f 在點(diǎn) (x0 , y0 )的 n 階泰勒公式 , ② 稱為其 拉格 朗日型余項(xiàng) . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證 : 令 ),10(),()( 00 ????? tktyhtxft?則 ),()1(,),()0( 0000 kyhxfyxf ???? ??利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 : ),(),()( 0000 tkythxfktkythxfht yx ????????),()()0( 00 yxfkh yx ???? ???? ?),()( 002 tkythxfht xx ??????),(2 00 tkythxfkh yx ???),( 002 tkythxfk yy ???),()()0( 002 yxfkh yx ???? ????? ?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(C)( 000)(tkythxyxfkhtpmpmpmpmppmm???????????一般地 , ),()()0( 00)( yxfkh myxm ???? ??? ?由 )(t? 的麥克勞林公式 , 得 將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn ?? ???? ??????說明 : (1) 余項(xiàng)估計(jì)式 . 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) , 在某閉 鄰域其絕對值必有上界 M , 則有 1)(!)1(????nn khnMR?????? ?? ?? ?? s i nc o skh11 )sinc o s(!)1(?? ???nnnM ???)1(m a x 2]1,0[ xx ??利用11)2(!)1(????nnnM ?)( no ??2?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 當(dāng) n = 0 時 , 得二元函數(shù)的 拉格朗日中值公式 : ),(),( 0000 yxfkyhxf ???),( 00 kyhxfh x ?? ??? ),( 00 kyhxfk y ?? ???)10( ?? ?(3) 若函數(shù) ),( yxfz ? 在區(qū)域 D 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù) 恒為零 , .),( 常數(shù)?yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例
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