定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用-展示頁(yè)
2025-05-08 05:59本頁(yè)面
【正文】 ],3,0[)2( ?x dxxxxdA )6( 322 ???2xy?xxy 63 ??于是所求面積 21 AAA ??dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ? .12253?【 說明 】 注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式． ],0,2[)1( ??x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 【 例 3 】 計(jì)算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 . 【 解 】 兩曲線的交點(diǎn) ).4,8(),2,2( ????? ??? 422 xy xy選 y為積分變量 ]4,2[??ydyyydA ???????? ???242.184 2 ?? ?? dAAxy 22?4??xyydyy?22yx?4?? yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 【 說明 】 本題若選 x為積分變量，則如下 ]2,0[?x dxxxdA )]2(2[1 ???]8,2[?x dxxxdA )42(2 ???故 ?? ???? 8220 )42(22 dxxxdxxA18?? ? xy 22?4??xy由此我們看到，積分變量 選取適當(dāng) ，則可使計(jì)算簡(jiǎn)便 . 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytx??曲邊梯形的面積 .)()(21??? tt dtttA ??（其中 1t 和 2t 對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值） 在 [1t , 2t ] （或 [ 2t , 1t ] ） 上 )( tx ?? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty ?? 連續(xù) . 直角坐標(biāo)之參數(shù)方程的情形 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 【 例 4 】 求橢圓 12222?? byax 的面積 . 【 解 】 橢圓的參數(shù)方程 ?????tbytaxs inc o s由對(duì)稱性知總面積等于 4倍第一象限部分面積． ?? a y d xA 04 ??? 02)c o s(s i n4 tatdb dttab ? ?? 20 2si n4 .ab??),c o s1( ),s in(tayttax???? (a0)， t?[0， 2?] 與 x軸所圍圖形的面積 A． 【 例 5】 求擺線一拱 【 解 】 曲邊方程為 y =f(x)， x?[0， 2?a]， 得 A= ? a dxxf 2 0 )(? x : 0?2?a ? t : 0?2?， 則 A = ? ??? ?2 0 22 )c o sc o s21( dttta 2 3 a??? ?? ?? ?2 0 22 )c o s1( dtta? ???2 0 )]s i n([)cos1( ttadta機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)由曲線 )(???r 及射線 ?? ? 、?? ? 圍成一曲邊扇形，求其面積．這里， )(?? 在 ],[ ?? 上連續(xù)，且 0)( ??? ． xo?? ? ?d?? ? ??? d?面積元素 ??? ddA 2)]([21?曲邊扇形的 面積 .)]([21 2 ????? dA ??)(???r 【 極坐標(biāo)情形 】 【 例 5 】 求雙紐線 ?? 2c o s22 a? 所圍平面圖形的面積 . 【 解 】 由對(duì)稱性知總面積 =4倍第一象限部分面積 14 AA ???? daA 2c o s214 40 2??xy??? 2cos22 a?xy??? 2cos22 a??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 【 例 6 】 求心形線 )cos1( ??? ar 所圍平面圖形 的面積 )0( ?a . 【 解 】 ?? dadA 22 )c o s1(21 ??利用對(duì)稱性知 .23 2a???d?? d2)cos1( ? ? ??? 02212 aA??? d)co sco s21( 2????? 02a?????? ??? ??? 2s i n41s i n2232a ?0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 旋轉(zhuǎn)體 就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做 旋轉(zhuǎn)軸 ． 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 二、體積 【 旋轉(zhuǎn)體的體積 】
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