【正文】 ．證明：（1）若，則，所以每個集合中均有非負元素.當三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立.否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負元素，不妨設(shè)則－∈.若＞0,則0≤－＜，=0.任取因0∈,故－0＝∈.所以，同理.所以=.（２）=={奇數(shù)}，={偶數(shù)}顯然滿足條件，和與都無公共元素.3．解：=.與分別為方程組（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅰ）解得（）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有兩個元素的情況只有兩種可能：① ②由①解得=0；由②解得=1.故=0或1時，恰有兩個元素.（2） 使恰有三個元素的情況是：= 解得，故當時，恰有三個元素.4．解: (1)設(shè)(即集合A中的點與集合B中的點的距離的最小值), 則稱為A與B的距離.⑵解法一：∵中點的集合為圓圓心為,令是雙曲線上的任一點,則==+8=令,則=當時,即有解，∴∴解法二：如圖,是雙曲線上的任一點, Q為圓上任一點,(當三點共線時取等號)∴.5．解：記時，由于1，2，……18都是的約數(shù)，故此時從而若存在，使，則對于小于99的正整數(shù)，均有，從而，但是，由整數(shù)理論中的性質(zhì)911=99是的一個約數(shù)，這是一個矛盾！從而6．證明：假設(shè)該校共有個班級，他們的建議分別組成集合。133，所以，只要n133，就有15n. 由于這時己取出了15180。二是考查集合語言和集合思想的應(yīng)用.,要正確理解其含義,弄清元素是什么,具有怎樣的性質(zhì)?這是解決集合問題的前提.,所以在競賽中,集合題是普遍而又基本的題型之一.【針對練習】(A 組)1.(2006年江蘇預(yù)賽) 設(shè)在平面上，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為( ) A. B. C. D.2. (2006年陜西預(yù)賽)為實數(shù),集合M=表示把集合M中的元素映射到集合P中仍為,則的值等于( ) A. D.3. (2004年全國聯(lián)賽)已知M=，N=，若對于所有的，均有則的取值范圍是A．[] B.（）C.（） D.[]4. (2005年全國聯(lián)賽) 記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數(shù)是（　　　?。〢． B． C．　 D．5. 集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，當且僅當A≠B時，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)有( ) . ={n|100≤n≤600,n∈N}，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為______________.7. 已知,.若,則實數(shù)的取值范圍是 .8. 設(shè)M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且滿足條件: 當x∈A時,15xA，則A中元素的個數(shù)最多是_______________.9. (2006年集訓試題)設(shè)n是正整數(shù)，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整數(shù)k，使得對于M的任何一個k元子集，其中必有4個互不相同的元素之和等于 10. 設(shè)＝{|＝,}，求證：⑴∈()；　　　?、?11.（2006年江蘇）設(shè)集合，．若，求實數(shù)的取值范圍．12. 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：①中的元素有正數(shù)，有負數(shù)；②中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；③－1；④若，∈,則＋∈試判斷實數(shù)0和2與集合的關(guān)系. (B 組)1. 設(shè)為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：①若∈，∈，則+∈，；②對任一個有理數(shù)，三個關(guān)系∈，－∈，＝：是由全體正有理數(shù)組成的集合.2．為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三個集合中至少有兩個相等.（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？3．已知集合：問（1） 當取何值時，為含有兩個元素的集合？（2） 當取何值時，為含有三個元素的集合？4．已知,.⑴請根據(jù)自己對點到直線的距離,兩條異面直線的距離中 “距離”的認識,給集合A與B的距離定義。{1,2,3,4} 43+“交替和”可以發(fā)現(xiàn),除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分為兩類:一類中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣的對應(yīng):設(shè)是{1,2,3,4}中一個不含有的子集,令與相對應(yīng),顯然這兩個集合的“交替和”的和為4,由于這樣的對應(yīng)應(yīng)有7對,再加上{4}的“交替和”為4,即{1,2,}的所有子集的“交替和”為32.【解】集合的子集中,除了集合,:第一類是含2008的子集,第二類是不含2008的子集,則必有是第一類的集合。{1,3,4} 43=1。{1,2,3} 32+1。{2,4} 42。{1,4} 41。{1,2} 21。{3} 3。 若時,則,滿足.③當時,滿足等價于方程的根介于1和2之間.即.綜合①②③得,即所求集合A.〖說明〗先討論特殊情形(S=),【例7】(2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個點集 R}, R}. 若 , 則 的取值范圍是．【解】由題意知 是以原點為焦點、直線 為準線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點集(如圖)．考察 時, 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 ． 所以，當 時, ． ………… ③令 ，代入方程 , 得 . 解出得．所以，當 時, ． ………… ④因此, 綜合 ③ 與 ④ 可知，當 ，即 時, ．故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時有若,即,此時應(yīng)有,.綜上可得, 〖說明〗本題的難點在于依據(jù)已知條件推斷集合A、,將問題分為多個部分,每一部分的難度比整體都要低,這樣就使問題變得簡單明了.【例9】滿足條件的函數(shù)形成了一個集合M,其中,并且,求函數(shù)與集合M的關(guān)系.〖分析〗求函數(shù)集合M的關(guān)系,即求該函數(shù)是否屬于集合M,也就是判斷該函數(shù)是否滿足集合M的屬性.【解】取時, 由此可見,〖說明〗,只要找至一個或幾個特殊的使得不符合M中的條件即可證明【例10】對集合及每一個非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減順序排列,然后從最大數(shù)開始,交替地加減相繼各數(shù),如的“交替和”是,集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”“交替和”“交替和”.〖分析〗集合A的非空子集共有個,顯然,要想逐個計算“交替和”“交替和”的特點,{1,2,3,4}的非空子集共有15個,共“交替和”分別為:{1} 1。 當時, ,由解得綜上知,參數(shù)的取值范圍是.〖說明〗本題中,集合的定義是一個二次三項式,那么尋于集合B要分類討論使其取值范圍數(shù)字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.【例3】已知,則的值是( ) 【解】,且及集合中元素的互異性知,即,此時應(yīng)有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿足(1)式.〖說明〗本題主要考查集合相等的的概念,如果兩個集合中的元素個數(shù)相等,.【例4】,求……+的值.〖分析〗從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.【解】,根據(jù)元素的互異性,由B知.且,故只有,從而又由及,得所以或,其中與元素的互異性矛盾!所以代入得:……+=()+2+()+2+……+()+2=0.〖說明〗本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個集合相等,則兩個集合中,各元素之和、.【例5】已知A為有限集,且,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等,寫出所有這樣的集合A. 【解】設(shè)集合A=且,由,得,即或(事實上,當時,有.當時,而當時,由,解得綜上可知,〖說明〗本題根據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,應(yīng)注意分析題設(shè)條件中所給出的信息,根據(jù)條件建立方程或不等式進行求解.【例6】已知集合,若,求實數(shù)的取值組成的集合A.【解】,設(shè).①當,即時,滿足。(4)對于有限個元素的集合,則元素個數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要條件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一個子集, .〖分析〗,即對所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和為=〖說明〗.【例2】已知集合且,求參數(shù)的取值范圍.〖分析〗首先確定集合A、B,再利用的關(guān)系進行分類討論.【解】由已知易求得當時,由知無解。(2)利用定義,證明兩個集合互為子集。(6)(對合律)。(4),(分配律)。(2), (交換律)。 排序不等式 ………………………103第一章 集合集合是高中數(shù)學中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是高中數(shù)學的起始單元，：集合思想、集合語言和集合的符號在高中數(shù)學的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、也是支撐現(xiàn)代數(shù)學大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學競賽中出現(xiàn)的問題.167。 平幾名定理、名題與競賽題 ……82167。 遞歸數(shù)列通項公式的求法 ………………44167。 抽象函數(shù) ………………………32第三章 數(shù)列…………………………………………37167。 二次函數(shù) ………………………21167。 數(shù)學競賽講義 目錄第一章 集合…………………………………………2第二章 函數(shù)…………………………………………15167。 函數(shù)及其性質(zhì)………………………15167。 函數(shù)迭代 ………………………28167。 等差數(shù)列與等比數(shù)列……………………37167。 遞推法解題………………………………48第四章 三角 平面向量 復(fù)數(shù)………………………51第五章 直線、圓、圓錐曲線………………………60第六章 空間向量 簡單幾何體………………………68第七章 二項式定理與多項式………………………75第八章 聯(lián)賽二試選講 ………………………82167。 數(shù)學歸納法 ………………………99167。 集合的概念與運算【基礎(chǔ)知識】一．集合的有關(guān)概念1．集合：具有某些共同屬性的對象的全體，.2．集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.3．集合的分類：無限集、有限集、空集.4. 集合間的關(guān)系：二．集合的運算1．交集、并集、補集和差集差集：記A、B是兩個集合，.(1),(冪等律)。(3), (結(jié)合律)。(5),(吸收律)。(7), (摩根律)(8),.(1)兩個集合中元素相同,即兩個集合中各元素對應(yīng)相等。(3)若用描述法表示集合,則兩個集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價。當時,顯然無解。②當,即或時, 若,則,不滿足,故舍去。{2} 2 。{4} 4。 {1,3} 31。{2,3} 32。{3,4} 43。{1,2,4} 42+1。{2,3,4} 43+2。如果是第一類中的集合,則中除2008外,還應(yīng)用1,2,……,2007中的數(shù)做其元素,即中去掉2008后不是空集,“成對的”集合的“交替和”求出來,都有2008,從而可得A的所有子集的“交替和”為同樣可以分析,因為個元素集合的子集總數(shù)為個(含,定義其“交替和”為0),其中包括最大元素的子集有個,不包括的子集的個數(shù)也是個,將兩類子集一一對應(yīng)(相對應(yīng)的子集只差一個元素),設(shè)不含的子集“交替和”為S,則對應(yīng)的含子集的“交替和”為,“交替和”為〖說明〗本題中＂退到最簡＂,從特殊到一般的思想及分類討論思想、對應(yīng)思想都有所體現(xiàn),這種方法在數(shù)學競賽中是常用的方法,在學習的過程中應(yīng)注意強化.【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊伍，若按每橫排4人編隊，最后差3人；若按每橫排3人編隊，最后差2人；若按每橫排2人編隊，最后差1人，求這支游行隊伍的人數(shù)最少是多少？〖分析〗已知游行隊伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，那么可設(shè)總?cè)藬?shù)為.“按每橫排4人編隊，最后差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同樣按3人、2人編隊都可理解為“多1人”，、2除時都余地，即是12的倍數(shù)，再由總?cè)藬?shù)不少于1000人的條件，即可求得問題的解.【解】設(shè)游行隊伍的總?cè)藬?shù)為，則由題意知分別被2除時均余1，即是2的公倍數(shù)，于是可令，由此可得： ①要使游行隊伍人數(shù)最少，則式①中的應(yīng)為最少正整數(shù)且為5的倍數(shù)，由此可得：， ②所以，.取代入②式，得故游行隊伍的人數(shù)最少是1045人.〖說明〗本題利用了補集思想進行求解，對于題目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等詞語，可以根據(jù)補集思想方法，從詞義氣反面（反義詞）考慮，對原命題做部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，常常能起到化繁為簡、化難為易的作用，使之尋求到解題思想或方法，實現(xiàn)解題的目的.【例12】設(shè)且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，且={1，2，3，…，}.證明：或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù).【證明】由題設(shè)，{1，2，3，…，}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一. 假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1，2，3，…，}的真子集，使得無論是還是中的任兩個不同的數(shù)的和都不