全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題-三角函數(shù)-展示頁(yè)
2025-04-13 03:22本頁(yè)面
【正文】 是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間? ??0,43?M上是單調(diào)函數(shù)，求 和 的值。xcos?25．換元法的使用。例 4 已知函數(shù) y=sinx+ ，求函數(shù)的最大值與最小值。例 3 求函數(shù) y=sin(2cos|x|)的最小正周期。例 2 設(shè) x∈(0, π), 試比較 cos(sinx)與 sin(cosx)的大小?！窘狻吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù) y=sinx 與 y=lg|x|的圖象，由圖象可知兩者有 6 個(gè)交點(diǎn)，故方程有 6 個(gè)解。iny?(,)tanxy?(0,)2?（3）嵌入不等式：設(shè) A+B+C=π，則對(duì)任意的 x,y,z∈R ，有 22cos2scosxyzAzByC???等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題1．結(jié)合圖象解題。方程 cosx=a 的解集是{ x|x=2kx arccosa, k∈Z}. ?如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+ar ctana, k∈Z}。?定義 4 函數(shù) y=sinx 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x∈[1, 1])，??????????????2,?x函數(shù) y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x∈[1, 1]). 函數(shù) y=tanx 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。（4） nn122A?（5） cotctoct。OIr?定理 16 面積公式：在任意△ABC 中，外接圓半徑為 R,內(nèi)切圓半徑為 r，半周長(zhǎng) 2p則 21sinsinsi(sinsin)24aabcShCrpRABrRC?? 21()()(otctot)pbC??定理 17 與△ABC 三個(gè)內(nèi)角有關(guān)的公式：3 （1） sinsin4coscs。定理 13 余弦定理：在任意△ABC 中有 a2=b2+c22bcosA，其中 a,b,c 分別是角 A，B，C 的對(duì)邊。定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos( α β)=cosαcos β sinαsinβ,??sin(α β)=s inαco sβ cosαsin β。對(duì)稱(chēng)性：直線 x=kπ 均為其對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn) 均為其對(duì)稱(chēng)中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kπ 時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2kππ 時(shí)，y 取最小值1 。最小正周期：2π。這里 k∈Z.?定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間 上為增函數(shù)，在區(qū)間 上為減函數(shù)，???????,k ????????23,k最小正周期：2 . 奇偶性：奇函數(shù) ?有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+ 時(shí)，y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k 時(shí), y 取最小值1，值域?yàn)閇1 ，1]。 （Ⅳ）sin =cosα, cos =sinα, tan =cotα（奇變偶不變，符號(hào)看象限）?????????2?????????2?????????2。（Ⅱ）sin(α)=s inα, co s(α)=cosα, tan (α)=tan α, cot(α)=cotα。若圓心角的弧長(zhǎng)為 L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|= ,其中 r 是圓的半徑。弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍瑒t角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍瑒t角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。1三角恒等式與三角不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。定義 2 角度制：把一周角 360 等分，每一等分為一度。360 度=2π 弧度。L定義 3 三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 α 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y ），到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦函數(shù) sinα= ,余弦函數(shù)rycosα= ,正切函數(shù) tanα= ，余切函數(shù) cotα= ，正割函數(shù) secα= ,余割函數(shù) cscα=rx yxxr.定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan α= ,sinα= ，cosα= ；?cot1?e1商數(shù)關(guān)系：tanα= ；ino,sin?乘積關(guān)系：tanαco sα=s inα,cotαsinα=cosα；平方關(guān)系：sin 2α+ cos2α=1, tan2α+1=se c2α, cot 2α+1=csc 2α.定理 2 誘導(dǎo)公式（Ⅰ）sin(α+π)=sin α, co s(π+α)= cosα, tan(π+α)=tan α, cot (π+α)=cotα。 （Ⅲ）sin(π α)=s inα, co s(πα)=cosα, tan=(π α)= tanα, cot(π α)=cotα。定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（x∈R）的性質(zhì)如下。2?對(duì)稱(chēng)性：直線 x=k + 均為其對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)（k , 0）均為其對(duì)稱(chēng)中心。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ, 2kπ+π] 上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kππ, 2kπ]上單調(diào)遞增。 奇偶性：偶函數(shù)。值域?yàn)閇1，1]。這里 k∈Z.???????0,?定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(x kπ+ )在開(kāi)區(qū)間(kπ , kπ+ )上為增函數(shù), ?22?最小正周期為 π，值域?yàn)椋?∞，+∞），點(diǎn)（kπ，0），（kπ+ ，0）均為其對(duì)稱(chēng)中心。 ?tan(α β)= .)tan(t??2
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