自學(xué)考試線性代數(shù)[經(jīng)管類]考點(diǎn)]-展示頁
2025-04-03 07:29本頁面
【正文】 ，則A，B都可逆，且， 例1 設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求 解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即（2）由，故當(dāng)時(shí)，即，A為可逆矩陣此時(shí)（四）分塊矩陣1． 分塊矩陣的概念與運(yùn)算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對應(yīng)的子塊.2．準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣1． 初等變換對一個(gè)矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；（2）用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2．初等方陣由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3．初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等列變換.4．矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價(jià)，記為對任一個(gè)矩陣A，必與分塊矩陣等價(jià)，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換. 例2 求的逆矩陣 解： 則 例3 求解矩陣方程 解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變換法，不用求出，而直接求則 （六）矩陣的秩1． 秩的定義設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2． 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3．與滿秩矩陣等價(jià)的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無關(guān) A的行（列）向量組為的一個(gè)基
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