【正文】 值 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1．在［1000，2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個(gè)？2．某城市1991年底人口為500萬(wàn)，人均住房面積為6 m2，如果該城市每年人口平均增長(zhǎng)率為1%，每年平均新增住房面積為30萬(wàn)m2，求2000年底該城市人均住房面積為多少m2？()3．已知數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，并且， （1） 設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列； （2） 設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列。 [例4]求數(shù)列的前n項(xiàng)和。錯(cuò)解：欲證只需證＞2即證：＞由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證＜ －＝＝－ ＜ 原不等式成立.錯(cuò)因：在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽視了q＝1的情況.正解：欲證只需證＞2即證：＞由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證＜由已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， 0,.若,則－＝ ＝－＜0；若,－＝＝－ ＜ 原不等式成立.[例2] 一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回至原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了多少米？（精確到1米）錯(cuò)解：因球　每次著地后又跳回至原高度的一半，從而每次著地之間經(jīng)過(guò)的路程形成了一公比為的等比數(shù)列，又第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了100米，故當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)的路程應(yīng)為前10項(xiàng)之和.即＝199（米）錯(cuò)因：忽視了球落地一次的路程有往有返的情況.正解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過(guò)了＝100（米）…因此到球第10次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)的路程為＝300（米）答：共經(jīng)過(guò)300米。 等比數(shù)列中，an=amqnm。167。 (2)由(1)得{an}是等比數(shù)列 a1= , q= 答：；6次倒出后。 [例5]在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。證明：證法一：關(guān)于的二次方程有實(shí)根， ∴，∴ 則必有：，即，∴非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列 設(shè)公比為，則，代入 ∵，即，即。 當(dāng)a＝1時(shí)，a+a2+a3+…+an＝n。q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30當(dāng)n1時(shí)，（常數(shù)）但既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C?！　　　　?，也不是等比數(shù)列，又是等比數(shù)列錯(cuò)解：（常數(shù)）為等比數(shù)列，即B。一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第２項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于 同 一 個(gè) 常 數(shù)，那 么 這 個(gè) 數(shù) 列 就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中項(xiàng)：若ａ，Ｇ，ｂ成等比數(shù)列，則稱Ｇ 為ａ 和ｂ 的等比中項(xiàng)．： 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不為0.，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從. 第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.，利用通項(xiàng)公式an=a1qn1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).，使用an=amqnm可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).｛an｝的通項(xiàng)公式an=0，且q1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0　的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛an｝的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).7．在解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。，且，求的值。 ）。: ： ，求證：依次成等差數(shù)列.， ，則 （ 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1．已知，求及。bn=4n+27.錯(cuò)因：誤認(rèn)為正解：[例5]已知一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=25－5n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；錯(cuò)解：由an0得n5 前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)， Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)當(dāng)n6時(shí)，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝ Sn=錯(cuò)因：一、把n5理解為n=5，二、把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從n6起”的和.正解： [例6]已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前項(xiàng)和的公式嗎？解：理由如下：由題設(shè)： 得： ∴ [例7]已知： （） （1） 問(wèn)前多少項(xiàng)之和為最 大？（2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？ 解：（1） ∴ （2） 當(dāng)近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小 令： 即 1024+ 得： ∵ ∴[例8]項(xiàng)數(shù)是的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為是方程的兩根，求證此數(shù)列的和是方程 的根。2d. d＝30， S40= S30+d =100.錯(cuò)因：將等差數(shù)列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等差數(shù)列.正解：由題意：得代入得S40 ＝。錯(cuò)解： ① ② 錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了an＝Sn－Sn1與的關(guān)系，沒(méi)注意a1=S1.正解： ①當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí) 也適合， ②當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴ [例3] 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于 。(2) 1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前n項(xiàng)之和.錯(cuò)因：誤把最后一項(xiàng)（含n的代數(shù)式）看成了數(shù)列的通項(xiàng).（1）若令n=1,a1=101,顯然3n+7不是它的通項(xiàng).正解：（1）an=3n－2。n+ a1d, an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（n,）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式可變形為，若令A(yù)＝，B＝a1－，則＝An2+Bn.在解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。第四章 數(shù)列167。一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，….：一般地，如果數(shù)列｛an｝的第ｎ項(xiàng)與序號(hào)ｎ之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4. 有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.5. 無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，其關(guān)健是先求出a1,a2,然后用遞推關(guān)系逐一寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng).:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用ｄ表示． :如果ａ，Ａ，ｂ這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么Ａ＝．我們把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中項(xiàng)． 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；（3）數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函數(shù)..｛an｝的前n項(xiàng)的和Sn與an之間的關(guān)系：若a1適合an(n2),則不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.：an= a1+(n1)d=d三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.（1）指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.錯(cuò)解：（1）an=3n+7。(2) 1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前n－1項(xiàng)的和. [例2] 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為① ② 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。錯(cuò)解：S30= S10[例4]等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和為Sn；錯(cuò)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+1。 （） 證明：依題意 ∵ ∴ ∵∴ ∴ （獲證）。2．設(shè)，求證：。A．72　　B．60　　C．48　　D．367. 已知是等差數(shù)列，且滿足，則等于________。167。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1] 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（?。?。錯(cuò)因：忽略了中隱含條件n＞1.正解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1=S1＝aq。[例2] 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于.錯(cuò)解：S30= S10q =.錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等比數(shù)列.正解：由題意：得，S40=.[例3] 求和：a+a2+a3+…+an.錯(cuò)解： a+a2+a3+…+an＝.錯(cuò)因：是（1）數(shù)列｛an｝不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（2）用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.正解：當(dāng)a＝0時(shí)，a+a2+a3+…+an＝0。當(dāng)a1時(shí)， a+a2+a3+…+an＝.[例4]設(shè)均為非零實(shí)數(shù)， 求證：成等比數(shù)列且公比為。證法二：∵ ∴ ∴，∴，且 ∵非零，∴。 解：