二面角求法及經(jīng)典題型歸納-展示頁(yè)
2025-04-02 06:31本頁(yè)面
【正文】 的一點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45176。２、射影面積法。 證（1）略解E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P （2）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OB⊥CF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCDABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過(guò)O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角BFCC的一個(gè)平面角, 在△BCF為正三角形中,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF中,所以二面角BFCC的余弦值為.例2（2010安徽卷理18題）（本小題滿分13分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB =2EF，∠BFC=90176。例1．(2009山東卷理) 如圖，在直四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。如（例2）過(guò)二面角BFCC中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過(guò)該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。.例3（2010浙江省理，20題，15分）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. [來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng).練習(xí)（2008山東）如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：AE⊥PD。在等邊三角形中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，連結(jié)AC，∵△ADC≌△ADS，∴ASAC，且M是SC的中點(diǎn)，∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵為AM的中點(diǎn)，∴GF是△AMS的中位線，點(diǎn)G是AS的中點(diǎn)。（I）證明：M在側(cè)棱的中點(diǎn)（II）求二面角的大小。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)
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