[高等教育]線性代數(shù)第二章-展示頁
2025-03-02 16:23本頁面
【正文】 = E ，因而B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C ． 證畢證畢證明證明定理定理 1 如果如果 n 階矩陣階矩陣 ＡＡ 可逆，則它的逆可逆，則它的逆矩陣是唯一的．矩陣是唯一的．,A| A |A *11 ??定理２ n 階矩陣 Ａ 可逆的充要條件是 |Ａ | ? 0. 如果 Ａ 可逆，則 其中 Ａ ? 為矩陣 Ａ 的伴隨矩陣 . 設(shè)矩陣 B 與 C 都是 A 的逆矩陣，則有AB = BA = E， AC = CA = E ，因而B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C ． 證畢證畢證明證明定理定理 1 如果如果 n 階矩陣階矩陣 ＡＡ 可逆，則它的逆可逆，則它的逆矩陣是唯一的．矩陣是唯一的．必要性必要性 若 Ａ 可逆，則兩邊取行列式，得 |A||A1| = 1, 因而 |Ａ | ? 0 .充分性充分性 若 |Ａ | ?0 ，則例例 9 行列式 |A | 的各個元素的代數(shù)余子式Aij 所構(gòu)成的如下方陣,AAA AAA AAAAnnnnnn* ???????????????? ?????2122212 12111稱為方陣 A 的 伴隨矩陣伴隨矩陣 , 試證 .11 EAA| A |A| A |A ** ??????????????AA1 = A1A = E,證明證明由逆矩陣的定義可知， A 可逆，且有.A|A|A *11 ?? 證畢證畢由 推論 若 AB = E（或 BA = E），則 B = A1 . 可得下述推論： ｜ A｜｜ B｜ =｜ E｜ =１，因而 A1 存在，于是B = EB= (A1A)B = A1(AB) = A1E = A1 .證畢證畢證明證明 ｜ A｜｜ B｜ =｜ E｜ =１ ，因而 A1 存在，于是B = EB = (A1A)B = A1(AB) = A1E = A1 .證畢證畢證明證明若 n 階矩陣 A 的行列式不為零，即 |A| ? 0， 則稱 A 為 非奇異矩陣 ，否則稱 A 為 奇異矩陣 . 說明，矩陣 A 可逆與矩陣 Ａ 非奇異是 等價的概念 . 定理２不僅給出了矩陣可逆的充要條件，而 且給出了求矩陣逆矩陣的一種方法，稱這種方法為 伴隨矩陣法 . 四、可逆矩陣的性質(zhì) 。1)( 11 ?? ? AkkA(2) 設(shè) A, B, Ai (i = 1, 2, Am , AT 也都是可逆矩陣，且 (1) (A1)1 = A。 Am)1 = Am1 （ 4） (AT)1 = (A1)T 。11| A |||A ?? （ 6） (Am)1 = (A1)m , m 為正整數(shù) . 我們只證（３）和（４）（３） (AB)(B1A1) = A(BB1)A1= AEA1 = AA1 = E.（４） AT(A1)T = (A1A)T = ET = E, 所以 (AT)1 = (A1)T . 證畢證畢證明證明 我們只證（３）和（４）（３） (AB)(B1A1) = A(BB1)A1= AEA1 = AA1 = E.（４） AT(A1)T = (A1A)T = ET = E, 所以 (AT)1 = (A1)T . 證畢證畢證明證明 例 10 求二階矩陣 的逆矩陣 . 五、舉例 ?????????dcbaA解解 矩陣 A的行列式 | A| = ad–bc,伴隨矩陣.* ??????? ?? ac bdA利用逆矩陣公式 ,||1 *1 AAA ?? 當(dāng) | A| ?0 時，有.1|| 1 *1 ??????? ????? ac bdbcadAAA例例 10求二階矩陣 的逆矩陣 .??????? dc baA最后用 |A | 去除 A 的每一個元素 , 即可得 A 的逆矩 bc .ad|A |,dc baA ????????“ 兩調(diào)一除兩調(diào)一除 ” 法法求二階矩陣的逆陣可用 “ 兩調(diào)一除兩調(diào)一除 ” 的方法 .其方法是 : 先將矩陣 A 中的主對角線上的元素調(diào)換位置 , 再將次對角線上的元素調(diào)換其符號 ,陣 . 例 11 用伴隨矩陣法求下列矩陣的逆矩陣： ???????????????325121321)2( 2A????????????213011322( 1 ) 1A????????????????????5341172332124131)3(3A單 擊 這 里 開 始 解 答 矩陣的求逆模型矩陣的求逆模型1 1 12 3 10 2 1A = 1 1 12 3 10 2 1= 5A 1 12 3 1 / 5 1 3 42 1 34 2 1A 1 =元素計算區(qū)元素計算區(qū)=3 3= 1下一個 A 的逆矩陣為：清 空.C,B,A????????????????????????????????????021102341010100001100001010例 12 解矩陣方程 AXB = C ，其中 .C,B,A ?????????? ? ????????????????????????? 021 102 341010 100 001100 001 010單擊這里可求逆單擊這里可求逆,100 001 0101 ????????????A例例 12解矩陣方程 AXB = C， 其中解解下面求 A和 B的逆矩陣 .由已知易得 X= A1CB1,例 13 設(shè) ,20 01,41 21 ?? PAPP ??????????????????? 求 An . 例例 13設(shè) ,20 01,41 21 ?? PAPP ??????????????????? 求 An.解解 因為 | P| = 2， 所以 P可逆， 由 求二 階矩陣逆 矩陣的 “兩調(diào)一除 ”法，得.11 24211 ????????? ???P在 等式 AP= P?兩邊右乘 P 1， 得A= P?P 1，于是 A2= P?P 1P?P 1= P?2P 1， + amxm 為 x 的 m 次多 項式， A 為 n 階方陣，記 ? (A) = a0 E
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1