【正文】 ? ? ?rkrSrkkS IPHQIG ?? ??? ?? ? ? ? rkrkTkrrTkrrkkTrkrrkkTSS ??????? ??????????? 0QPIPQIIPQIHG )()(krTrkTkrrk??????PQPQ)()(或所以， ? ?? ? )()(???????rTrkSrkkSIQHQIG第 24頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng (3) 生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系 ? 由于生成矩陣 G 的每一行都是一個碼字，所以 G 的每行都滿足： Hr n(C1 n)T=(01 r)T，則有： Hr n(Gk n)T=(0k r)T 或 Gk n(Hr n)T=0k r ? 線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣 H 和生成矩陣 G 之間可以直接互換 。 ? 當生成矩陣 G 確定之后， (n,k) 線性碼也就完全被確定了，只要找到碼的生成矩陣，編碼問題也同樣被解決了。 線性分組碼的生成矩陣 第 20頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng ? ? )(100010001)(21)(22221)(11211rkkknkkkknknnkqqqqqqqqq????? ???????????????? QIG??????????????(2) 線性分組碼的生成矩陣 ? 線性 系統(tǒng) 分組碼 ? 線性系統(tǒng)分組碼的構(gòu)成 ： 通過行初等變換，將 G 化為前 k 列是單位子陣的標準形式。 線性分組碼的生成矩陣 )(21222211121121??????????????????????????knkknnknkggggggggg????????gggG第 19頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng (2) 線性分組碼的生成矩陣 ? 生成矩陣 G 的特性 ? G 中每一行 gi=(gi1,gi2,…, gin ) 都是一個碼字； ? 對每一個信息組 m，由矩陣 G 都可以求得 (n,k) 線性碼對應(yīng)的碼字。寫成矩陣形式得：）（1,1,0),2(??????? ??kiGFmmmmikkk?? gggC? ?階矩陣。 線性分組碼的生成矩陣 返回目錄 第 17頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng (2) 線性分組碼的生成矩陣 ? 生成矩陣的來由 ： 在由 (n,k) 線性碼構(gòu)成的線性空間 Vn 的 k 維子空間中，一定存在 k 個線性獨立的碼字： g1,g2,…, gk。把線性碼放入線性空間中進行研究，將使許多問題簡化而比較容易解決。 ? 一個長為 n 的二元序列可以看作是 GF(2) (二元域 ) 上的 n 維線性空間中的一點。 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 參見方程 返回目錄 第 15頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 線性分組碼的生成矩陣 (1) 線性碼的封閉性 (2) 線性分組碼的生成矩陣 (3) 生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系 (4) 對偶碼 第 16頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng (1) 線性碼的封閉性 ? 線性碼的封閉性： 線性碼任意兩個碼字之和仍是一個碼字。 ? 為了得到確定的碼， r 個監(jiān)督方程（或 H 陣的 r 行）必須是 線性獨立的，這要求 H 陣的秩為 r。例如 (7,3) 碼的 H 陣的第一行為 (1011000)，說明第一個監(jiān)督元等于第一個和第三個信息元的模 2 和，依此類推。 )(100010001212222111211????????????????????????????rnrrkknrpppppppppH 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 第 14頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng (4) 一致監(jiān)督矩陣特性 ? H 標準形式的特性 ? H 陣的每一行都代表一個監(jiān)督方程，它表示與該行中“ 1”相對應(yīng)的碼元的模 2 和為 0。線性分組碼的一致監(jiān)督為稱或可寫成：式),()()()()()( 1111knrTnrnTrTnnrH0HC0CH ?????? ????第 13頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng (4) 一致監(jiān)督矩陣特性 ?對 H 各行實行初等變換，將后面 r 列 化為 單位子陣 ，得到下面矩陣，行變換所得方程組與原方程組同解。HT=0 CT、 HT、 0T 分別表示 C、H、 0 的轉(zhuǎn)置矩陣。 ???????????????????????????????????00000000000000000000451562456346ccccccccccccc表 8 . ( 7 ,3) 分組碼編碼表 信息組 對應(yīng)碼字 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 )(4505614562463????????????????ccccccccccccc返回目錄 第 9頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 (3) 一致監(jiān)督矩陣 ? 為了運算方便，將式 ()監(jiān)督方程寫成矩陣形式，得： )(000010001100100011001011100011010123456???????????????????????????????????????????????ccccccc? ?? ?)(100011001000110010111000110100000123456???????????????H0C ccccccc令? 將式 ()可寫成： H 返回目錄 第 8頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 (2) 舉例 ? 信息碼組 (101)，即 c6=1, c5=0, c4=1 ? 代入 () 得： c3=0, c2=0, c1=1, c0=1 ? 由信息碼組 (101) 編出的碼字為 (1010011)。由于 所有碼字都按同一規(guī)則確定， 又稱為一致監(jiān)督方程 /一致校驗方程。 ? 舉例： k=3, r=4，構(gòu)成 (7,3) 線性分組碼。 返回目錄 第 5頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 (1) 一致監(jiān)督方程 (2) 舉 例 (3) 一致監(jiān)督矩陣 (4) 一致監(jiān)督矩陣特性 第 6頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 (1) 一致監(jiān)督方程 ? 構(gòu)成碼字的方法： 編碼是給已知信息碼組按預(yù)定規(guī)則添加監(jiān)督碼元，構(gòu)成碼字。 ?編碼效率 /編碼速率 /碼率 /傳信率： R=k /n。由 2k 個信息碼組所編成的 2k個碼字集合，稱為 線性分組碼 。 (2) 線性分組碼的碼字數(shù)： 信息碼組長 k 位 ，有 2k 個不同的信息碼組，有 2k 個碼字與它們一一對應(yīng)。第 1頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 信息論與編碼原理 （第八章） ────────────── 線性分組碼 第 2頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 第 8章 線性分組碼 一般概念 一致監(jiān)督方程和一致 監(jiān)督矩陣 線性分組碼的 生成矩陣 線性分組碼的編碼 線性分組碼的 最小距離 、檢錯和糾錯能力 線性分組碼的 譯碼 線性分組碼的性能 漢明碼 由已知碼構(gòu)造新碼的方法 GSM 的信道編碼總體方案 線性分組碼的碼限 第 3頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一般概念 (1) 線性分組碼的編碼： 編碼過程分為兩步： ?把信息序列按一定長度分成 若干 信息碼組 , 每組由 k 位組成 。 ?編碼器按照預(yù)定的 線性規(guī)則 （可由線性方程組規(guī)定），把信息碼組變換成 n 重（ nk）碼字，其中 (n－ k) 個附加碼元是由信息碼元的 線性運算 產(chǎn)生的。 第 4頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一般概念 (3) 術(shù)語 ?線性分組碼： 通過預(yù)定的線性運算將長為 k 位的信息碼組變換成 n 重的碼字 (nk)。 ?碼矢： 一個 n 重的碼字可以用矢量來表示： C=(－ 1,－ 1,…, c1,c0 ) ? (n,k) 線性碼： 信息位長為 k，碼長為 n 的線性碼。它說明了信道的利用效率， R 是衡量碼性能的一個重要參數(shù)。 ? 在 k 個信息碼元之后附加 r(r=n－ k) 個監(jiān)督碼元，使每個監(jiān)督元是其中某些信息元的模 2 和。設(shè)碼字為： (c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0) c6,c5,c4為信息元， c3,c2,c1,c0為監(jiān)督元，每個碼元取“ 0”或“ 1” 監(jiān)督元按下面方程組計算： )(4505614562463????????????????ccccccccccccc第 7頁 2022/3/13 Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 (1) 一致監(jiān)督方程 ?一致監(jiān)督方程 /一致校驗方程：確定信息元得到監(jiān)督元規(guī)則的一組方程稱為監(jiān)督方程 /校驗方程。 ?為什么叫線性分組碼？ 由于一致監(jiān)督方程是 線性 的，即監(jiān)督元和信息元之間是線性運算關(guān)系，所以由線性監(jiān)督方程所確定的分組碼是 線性分組碼。其它 7 個碼字如表