【正文】 f )具有非負(fù)性和實偶性，即有 和 這與 R(?)的實偶性相對應(yīng)。 ? 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。 在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具， 它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式 。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故 ? (t)的功率譜密度可以定義為 ? ? T )f(FEmil)f(PE)f(P TTf2?????29 第 3章 隨機過程 ? 功率譜密度的計算 ? 維納 辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。當(dāng)均值為 0時，有 R(0) = ?2 。 ???? ??? 2 2 01 T T cT dt)tc os (ATl i ma ?????? ????? 2 21 T T ccT dt])t(c os [A)tc os (ATlim)(R ??????? ?? ??? ???? 2 2 2 22 222 T T T T cccT }dt)tc os (dtc os{TAl i m ???????? cc o sA22?)(R)(R,aa ?? ??26 第 3章 隨機過程 ? 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù) ? 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前 ? 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? — ?(t)的平均功率 ? — ?的偶函數(shù) ? — R(?)的上界 即自相關(guān)函數(shù) R(?)在 ? = 0有最大值。 【解】 (1)先求 ?(t)的統(tǒng)計平均值： 數(shù)學(xué)期望 )tc o s (A)t( c ??? ??? ??? ? ????? 20 2 1 d)tc os (A)]t([E)t(a c? ?? ? ?????? 202 d)s i nts i nc ost(c osA cc02 20 20 ??? ? ? ]ds i nts i ndc ost[c osA cc ? ? ???????24 第 3章 隨機過程 自相關(guān)函數(shù) 令 t2 – t1 = ?，得到 可見， ?(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與 t 無關(guān)，只與時間間隔 ? 有關(guān)，所以 ?(t)是廣義平穩(wěn)過程。 23 第 3章 隨機過程 ? [例 31] 設(shè)一個隨機相位的正弦波為 其中， A和 ?c均為常數(shù)； ?是在 (0, 2π)內(nèi)均勻分布的隨機變量。 ? 具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。 ??????????????222211/T/TT/T/TTdt)t(x)t(xTlim)t(x)t(x)(Rdt)t(xTlim)t(xa????????)(R)(Raa??22 第 3章 隨機過程 ? “各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機過程中的任一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。 ? 討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。x,x(fxx)]t()t([E)t,t(R?????????? ???? ??? 2121221112120 第 3章 隨機過程 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 問題的提出：隨機過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本， ? 問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù) x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢 ? ? 回答：平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“ 各態(tài)歷經(jīng)性 ”（又稱“ 遍歷性 ”）。 研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。x,x(fxx)]t()t([E)t,t(R?????????? ???? ??? 2121221112119 第 3章 隨機過程 ? 數(shù)字特征： 可見，（ 1）其均值與 t 無關(guān)，為常數(shù) a ； （ 2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 ? 有關(guān)。x,x(f)t,t。 )t(a)t(a)t,t(R)t,t(B 212121 ??)]t()t([E)t,t(R 2121 ???? ?17 第 3章 隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程的定義 ? 定義： 若一個隨機過程 ?(t)的任意有限 n維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，即，對于任意的正整數(shù) n和所有實數(shù) ?，有 則稱該隨機過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱 嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程 。x,x(f)]t(ax)][t(ax[])t(a)t()][t(a)t([E)t,t(B??????? ?? ?? ? ????16 第 3章 隨機過程 ? 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若 a(t1) = a(t2)=0，則 B(t1, t2) = R(t1, t2) ? 互相關(guān)函數(shù) 式中 ?(t)和 ?(t)分別表示兩個隨機過程。 2121212212121dxdx)t,t。 ? 協(xié)方差函數(shù) 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在 t1和 t2時刻得到的 ? (t)的均值 f2 (x1, x2。 ?? 2)]t(a)t([E)]t([D ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD????????212 )]t(a[dx)t,x(fx ?? ? ???均方值 均值平方 15 第 3章 隨機過程 ? 相關(guān)函數(shù) 式中， ? (t1)和 ? (t2)分別是在 t1和 t2時刻觀測得到的隨機變量。也可把任意時刻 t1直接寫成了 t 。 用數(shù)學(xué)分析方法對時間求平均得 出的種種平均值。 11 隨機過程的數(shù)字特征 ① 完整刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性： 分布函數(shù)，概率密度 特點：獲得不方便，處理不方便 ② 用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程： 兩種求取隨機過程的數(shù)字特征方法： 統(tǒng)計平均 —— 隨機過程 某一特定時刻不同 實現(xiàn)的取值，用統(tǒng)計方法得出種 種平均值。x,x(f?????)t(),t(),t( N??? ?21作為 n = 2, 二維分布函數(shù) , 二維概率密度函數(shù) 則稱上述變量是統(tǒng)計獨立的 。x,x(F ??? ??2121212221212 xx)t,t。 10 對于任意 N個隨機變量 若 第 3章 隨機過程 ? 隨機過程 ? (t) 的 二維分布函數(shù) ： ? 隨機過程 ? (t)的 二維概率密度函數(shù) ： 若上式中的偏導(dǎo)存在 )t,x(P)t,x(P)t,x(P)t,t,t。 9 第 3章 隨機過程 ? 隨機過程 ? (t) 的 n維分布函數(shù) ： ? 隨機過程 ? (t) 的 n維概率密度函數(shù) ： ? ?nnnnn x)t(,x)t(,x)t(P)t,t,t。 如果將 x看成是數(shù)軸上的隨機點的坐標(biāo)， 那么，分布函數(shù) F(x)在 x處的函數(shù)值 就表示 X落在區(qū)間 (∞,x] 上的概率。 ]x)t([P)t,x(F 11111 ?? ?1111111 x)t,x(F)t,x(f???分布函數(shù)是一個普遍的函數(shù) 完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。 隨機過程（隨機函數(shù)總集） 隨機函數(shù) 樣本函數(shù) 時域 相關(guān)函數(shù) 頻域 廣義譜分析 8 第 3章 隨機過程 ? ? 設(shè) ? (t)表示一個隨機過程，則它在任意時刻 t1的值 ? (t1)是一個隨機變量，其統(tǒng)計特性可以用 分布函數(shù) 或 概率密度函數(shù) 來描述。 ⒉ 每個時刻上：函數(shù)值是隨機的（每個時刻上函數(shù)值按照一定概率分布）給定任意一個時刻 t1 , ? (t1) 是一個不含 t變化地隨機變量。 隨機過程的統(tǒng)計特性是通過它的概率分布或數(shù)字特征加以描述 。 更嚴(yán)格地說，無窮多個樣本函數(shù)（實現(xiàn)或記錄）的集合構(gòu)成一個隨機過程，記為 ? (t)。 隨機 不能用確定的時間函數(shù)描述。 ⊙ 隨機噪聲 ： 凡不能預(yù)測的噪聲 。 6 隨機過程及其統(tǒng)計特性 隨機過程 通信過程： 信號 +噪聲 ，通過通信系統(tǒng)的過程 。 ? 又可以把 隨機過程 看作 是 在時間進程中處于不同時刻的 隨機變量的集合 。 ? 在一個固定時刻 t1上，不同樣本的取值 {?i (t1), i = 1, 2, …, n }是一個隨機變量，記為 ? (t1)。 ()t?t012()()()nttt?