【正文】 ),k(f/k H ?3212 ???76 第 3章 隨機過程 ? 帶通白噪聲 ? 定義：如果白噪聲通過理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則其輸出的噪聲稱為 帶通白噪聲 。 ? ? )x(Idc osxe xp 0202 1 ?? ??? ???????????????? ??2022021nnAzId)c os (Aze xp????????????????????? ????202222 21nnnAzI)Az(e xpz)/z(f????02 1 202222 ??????????????? ??? zAzI)Az(e xpz)z(fnnn ???68 第 3章 隨機過程 ? 討論 ? 當(dāng)信號很小時，即 A ? 0時，上式中 (Az/?n2)很小， I0 (Az/?n2) ? 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。 根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有 代入上式，得到 上式表明 Rsc(?)是 ? 的奇函數(shù)，所以 同理可證 ???????? ccscc s i n)(Rc o s)(R)(R ?????????? csccs s i n)(Rc o s)(R)(R ??)(R)(R sc ?? ? )(R)(R sccs ?? ??)(R)(R sccs ?? ??)(R)(R scsc ?? ???00 ?)(R sc00 ?)(Rcs55 第 3章 隨機過程 將 代入下兩式 得到 即 上式表明 ?(t) 、 ?c(t)和 ?s(t)具有相同的平均功率或方差。 注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 ? ???????????????????????dd)]t()t([E)(h)(hd)t()(hd)t()(hE)]t()t([E)t,t(Riiii???????????? ??????????????11111010110)(R)]t()t([E iii ???????? ?????? 11)(Rdd)(R)(h)(h)t,t(R i ????????? 0110 ????? ? ?? ?? ? ??45 第 3章 隨機過程 ? 輸出過程 ?o(t)的功率譜密度 對下式進行傅里葉變換： 得出 令 ?? = ? + ? ?，代入上式，得到 即 結(jié)論： 輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。 )t,. .. ,t,t。 ? n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為： 式中 ? ?? ?? ?????njnk kkkjjjjk/n/nnnn)ax)(ax(BBe x pB. ..)()t, .. .,t,tx, .. .,x,x(f1 12121221212121??????；22 ]a)t([E)],t([Ea kkkkk ??? ???34 第 3章 隨機過程 式中 |B| － 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk －行列式 |B|中元素 bjk的代數(shù)余因子 bj k － 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112???????nnnnbbbbbbB ?kjkkjjjk]}a)t(][a)t({[Eb???? ???35 第 3章 隨機過程 ? 重要性質(zhì) ? 由高斯過程的定義式可以看出 ,高斯過程的 n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差 。 這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有 簡記為 以上關(guān)系稱為 維納 辛欽 關(guān)系。試討論 ?(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。x,x(f ?21221212 ?? ? ? ??? ?? adx)x(fx)t(E 1111?)(Rdxdx)。 t1, t2) － ? (t)的二維概率密度函數(shù)。 時間平均 —— 隨機過程 得某一特定實現(xiàn)。x,x,x(F???? ??? ???22112121n21n21n21nnn21n21n xtxtx??????????xx)ttxx(F)ttxx(f ，；，；，通常需要在足夠多的時刻上考慮隨機過程的多維分布： n越大，用 n維分布函數(shù)或 n維概率密度函數(shù)描述的統(tǒng)計特性越充分。 隨機過程 —— 時間連續(xù) 隨機序列 —— 時間離散 研究隨機過程首先是研究隨機過程在不同時刻的隨機特性，然后研究某一實現(xiàn)的特性。 例如自然界中的各種電磁波噪聲 和設(shè)備本身產(chǎn)生的熱噪聲、散粒噪聲等 ⊙ 隨機過程 ： 隨機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程 。 ? 在任一給定時刻 t1上，每一個樣本函數(shù) ?i (t)都是一個確定的數(shù)值 ?i (t1)， 但是每個 ?i (t1)都是不可預(yù)知的。 4 第 3章 隨機過程 【例】 n臺示波器同時觀測并記錄這 n臺接收機的輸出噪聲波形 ? 樣本函數(shù) ?i (t)：隨機過程的一次 實現(xiàn) ，是確定的時間函數(shù)。 6 隨機過程及其統(tǒng)計特性 隨機過程 通信過程： 信號 +噪聲 ，通過通信系統(tǒng)的過程 。 隨機過程的統(tǒng)計特性是通過它的概率分布或數(shù)字特征加以描述 。 如果將 x看成是數(shù)軸上的隨機點的坐標(biāo)， 那么，分布函數(shù) F(x)在 x處的函數(shù)值 就表示 X落在區(qū)間 (∞,x] 上的概率。x,x(f?????)t(),t(),t( N??? ?21作為 n = 2, 二維分布函數(shù) , 二維概率密度函數(shù) 則稱上述變量是統(tǒng)計獨立的 。 ?? 2)]t(a)t([E)]t([D ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD????????212 )]t(a[dx)t,x(fx ?? ? ???均方值 均值平方 15 第 3章 隨機過程 ? 相關(guān)函數(shù) 式中， ? (t1)和 ? (t2)分別是在 t1和 t2時刻觀測得到的隨機變量。 )t(a)t(a)t,t(R)t,t(B 212121 ??)]t()t([E)t,t(R 2121 ???? ?17 第 3章 隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程的定義 ? 定義： 若一個隨機過程 ?(t)的任意有限 n維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，即，對于任意的正整數(shù) n和所有實數(shù) ?，有 則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱 嚴平穩(wěn)隨機過程 。 研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。 ? 具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。當(dāng)均值為 0時，有 R(0) = ?2 。 【證】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 df)f(P)(R ? ???? ?0)(R)(R ?? ?])(R[F)](R[F ?? ?)f(P)f(P f??)f(P)(R ?? ? ? ? )f(P f??R31 第 3章 隨機過程 ? 功率譜密度 P? ( f )具有非負性和實偶性，即有 和 這與 R(?)的實偶性相對應(yīng)。 36 第 3章 隨機過程 ? 如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有 j ? k，有 bjk =0，則其概率密度可以簡化為 如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的 。 ??? d)t(v)(h)t(v)t(h)t(v ii ???? ? ???0)(V)(H)(V i fff0 ?? ??? ?? ????? d)t()(h)t( i043 第 3章 隨機過程 ? 輸出過程 ?o(t)的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計平均： 得到 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有 式中， H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。 因為從積分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè) ?i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。 0??? )t(a,)]t(tc o s [)t(a)t( c ??? ???ts i n)t(tc o s)t()t( cscc ????? ??)t(c o s)t(a)t(c ?? ?? ?)t(s i n)t(a)t(s ?? ?? ?51 第 3章 隨機過程 ? ?c(t)和 ?s(t)的統(tǒng)計特性 ? 數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望： 得到