【正文】 ion for maximal ripple FIR filters Least squared error frequency domain design As seen in the previous method of frequency sampling technique there is no constraint on the response between the sample points, and poor results may be obtained. The frequency sampling technique is more of an interpolation method rather than an approximation method. This method [Rab75], [Parks87] controls the response between the sample points by considering a number of sample points larger than the order of the purpose of most filters is to separate desired signals from undesired signals or noise. As the energy of the signal is related to the square of the signal, a squared error approximation criterion is appropriate to optimize the design of the FIR filters. The frequency response of the FIR filter is given by (8) for a Npoint FIR filter. An error function is defined as follows (13)where wk=(2*pi*k)/L and Hd(wk) are L samples of the desired response, which is the error measure as a sum of the squared differences between the actual and desired frequency response over a set of L frequency samples. The method consists of the following steps: (i) First ‘L’ samples from the continuous frequency response are taken, where LN(length of the impulse response of filter to be designed) (ii) Then using the following formula (14)the Lpoint filter impulse response is calculated.(iii) Then the obtained filter impulse response is symmetrically truncated to desired length N. (iv) Then the frequency response is calculated using the following relation (15)(v) The magnitude of the frequency response at these frequency points for wk =(2k)/L will not be equal to the desired ones , but the overall least square error will be reduced effectively this will reduce the ripple in the filter response. To further reduce the ripple and overshoot near the band edges, a transition region will be defined with a linear transfer function. Then the L frequency samples are taken at wk =(2*pi*k)/L using which the first N samples of the filter are calculated using the above this method, reduces the ripple in the interpolated frequency response. Nonlinear Equation solution for maximal ripple FIR filters The real part of the frequency response of the designed FIR filter can be written as a(n)cos(wn) [Rab75] where limits of summation and a(n) vary according to the type of the filter. The number of frequencies at which H(w) could attain an extremum is strictly a function of the type of the linear phase filter . whether length N of filter is odd or even or filter is symmetric or antisymmetric. At each extremum, the value of H(w) is predetermined by a bination of the weighting function W(w), the desired frequency response, and a quantity that represents the peak error of approximation distributing the frequencies at which H(w) attains an extremal value among the different frequency bands over which a desired response was being approximated. Since these filters have the maximum number of ripples, they are called maximal ripple filters. This method is as follows: At each of the Ne unknown external frequencies, E(w) attains the maximum value of either and E(w) or equivalently H(w) has zero derivative. Thus two Ne equations of the form H(wi)= 177。 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形（1） 利用窗函數法設計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二4（1）利用窗函數法設計的低通濾波器處理加噪聲的音頻波形圖425 加噪前錄音波形的時域圖和頻域圖圖426 加噪后錄音波形的時域圖和頻域圖圖427 窗函數法設計低通濾波器的增益響應圖428 濾波后錄音波形的時域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個圖像中可以得到如下結論：①從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。(3) 利用Remez函數設計等波紋帶阻濾波器設計要求：①、 ②阻帶衰減大于等于15dB③④采樣頻率2000Hz 程序參見附錄二中的3（3）利用Remez函數設計等波紋帶阻濾波器圖422 等波紋帶阻濾波器的增益響應從參考程序及圖422可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數為22②、③阻帶衰減為15dB，對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。(2) 利用Remez函數設計等波紋帶通濾波器設計要求：①、 ②阻帶衰減大于等于40dB③④采樣頻率2000Hz程序參見附錄二中的3（2）利用Remez函數設計等波紋帶通濾波器圖419 等波紋帶通濾波器的增益響應從參考程序及圖419可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數為22②、③阻帶衰減為40dB，對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 優(yōu)化設計的Matlab實現(xiàn)在優(yōu)化設計的Matlab實現(xiàn)中，程序中經常使用remez函數，這種函數的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,’ftype’)①n為待設計濾波器的階數；f是一個向量，它是一個0到1的正數②a是一個向量，指定頻率段的幅度值；w對應于各個頻段的加權值③函數的返回值b是設計出的濾波器的系數組成的一個長度為n+1的向量(1) 利用Remez函數設計等波紋低通濾波器設計要求：①， , 采樣頻率2000Hz②阻帶衰減大于等于40dB，程序參見附錄二中的3（1）利用Remez函數設計等波紋低通濾波器圖416 等波紋低通濾波器的增益響應從參考程序及圖416可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數為22②，③阻帶衰減為40dB，對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。（2）利用頻率取樣法設計高通濾波器設計要求：①，②阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2（2）利用頻率取樣法設計高通濾波器圖413 頻率取樣法設計高通濾波器的增益響應從參考程序及圖47可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的階數為32②，③阻帶衰減為18dB對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 頻率取樣法的Matlab實現(xiàn)(1) 利用頻率取樣法設計低通濾波器設計要求：①，②阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2（1）利用頻率取樣法設計低通濾波器圖410 頻率取樣法設計低通濾波器的增益響應從參考程序及圖47可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的階數為63②，③阻帶衰減為17dB對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 (3) 利用窗函數法設計多通帶濾波器設計要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率200Hz②、③阻帶衰減大于等于30dB，程序參見附錄二中的1（3）利用窗函數法設計多通帶濾波器圖47 窗函數法設計多通帶濾波器的增益響應從參考程序及圖47可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的采樣頻率為200Hz，濾波器的階數為46②、 、③阻帶衰減為38dB，對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。（2） 利用窗函數法設計帶通濾波器設計要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率8000Hz②，③阻帶衰減大于等于40dB，程序參見附錄二中的1（2）利用窗函數法設計帶通濾波器圖44 窗函數法設計帶通濾波器的增益響應從參考程序及圖44可以得到所設計出濾波器的參數如下：①濾波器的采樣頻率為8000Hz，濾波器的階數為90②，③阻帶衰減為40dB，對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。如果Wn是一個含有兩個數的向量，則函數返回一個帶通濾波器③ftype為濾波器的類型，ftype=’high’時，設計的是高通濾波器；ftype=’stop’時，設計的是帶阻濾波器；沒有此參數時，設計的是低通濾波器④window為指定的窗函數，矩形窗為boxcar(n)，漢寧窗為hanning(n)，海明窗為hamming(n)，布萊克曼窗為blackman(n)，凱撒窗為kaiser(n,beta)，沒有此參數時，默認為hamming窗程序中kaiserord函數的用法：[n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs)①f是一個向量，為設計濾波器過渡帶的起始點和結束點②a是一個向量，指定頻率段的幅度值②dev是一個向量，長度和a相同，為各個通帶和阻帶內容許的幅度最大誤差④n為能夠滿足要求的濾波器的最小階數⑤Wn為濾波器的截止頻