【正文】 nc o ssi n2si nxxxxx??222t an1t an2xx??212tt??22222222c o ssi nsi nc o sc o sxxxxx???2222t an1t an1xx???2211tt????xd tt d1 2 2?? ?? xxx x d)c o s1(si n si n1?? 2121tt??212tt? )1( 2211tt???tt d21 2?? ttt d1221 ????????? ?????21 221t t2? tln? C????2ta n41 2 x?2tanx? Cx ??2t a nln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解： 求 ? x d xc s c 原式 dxx?? s i n1 ??2c o s2s i n2xxdx??2c o s2t a n 2xxdx??2t a n2t a nxxdCx ??2t a nlnCxx ??? c o tc s clnxxx xx c otc s cs i nc os12t a n ?????例 解： 求 ? x d xs e c 原式 ?? dxxc os1 ????)2s i n ()2(??xxdCx ??????? ??42tanln ?Cxx ??????? ???????? ??2c ot2c s cln ??Cxx ??? t a ns e cln例 例 . 求 解 : ?? 原式xx d2cos1222 ta n bxa ?? ?? 222 )(t a n t a nd1abxxa)t a na rct a n (1 xbaba? C?說明 : 通常求含 xxxx c o ss inc o s,s in 22 及的積分時 , xt tan? 往往更方便 . 的有理式 用代換 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡單無理函數(shù)的積分 ,d),(? ? xbaxxR n 令 n bxat ??,d),(? ?? xxR n dxc bxa 令 n dxc bxat ???被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分 . 例如 : 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,d),(? ?? xbaxbaxxR mn,p bxat ??令 ., 的最小公倍數(shù)為 nmp例 . 求 .21 d3? ?? xx解 : 令 ,23 ?? xu 則 原式 ? ?? u1 23u ud uuu d1 1)1(32? ? ???uuu d)1 11(3 ???? ??3? 221u u? u?? 1ln ? C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 解 : 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的 最小公倍數(shù) 6 , ,6tx ? 則有 原式 ? ?? 23 tt tt d6 5tttt d)1 11(6 2? ??????6? 331t 221 t? t? t?? 1ln ? C?令 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 .d11? ? xx xx解 : 令 ,1 x xt ?? 則 原式 ? ?? tt )1( 2 tt t d)1( 2 22 ???ttt d12 22? ??? t2?? 11ln ??? tt C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、第二類換元法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一類換元法解決的問題 難求 易求 xxxf d)()]([ ?? ?? ?? uuf d)()( xu ??若所求積分 xxxf d)()]([ ?? ?? 易求 , 則得第二類換元積分法 . 難求， ? uuf d)(CxF ?? )()()]([)( ttft ?? ??? ?定理 . 設(shè) 是單調(diào)可導函數(shù) , 且 具有原函數(shù) , .)()(1 的反函數(shù)是其中 txxt ?? ?? ?證 : 的原函數(shù)為設(shè) )()]([ ttf ?? ?,)(t? 令 ])([)( 1 xxF ??? ?則 ?? )( xF tdd? xtdd? )()]([ ttf ?? ?? )(1t??? )(xf?xxf d)(?? Cx ??? ? )]([ 1?Ct ??? ][ )(1 xt ?? ? )(1d)()]([ xttttf ???? ???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有換元公式 例 . 求 .)0(d22 ??? axxa解 : 令 ,),(,s i n 22 ????? ttax 則 taaxa 22222 s in??? ta cos?ttax dc o sd ?∴ 原式 ta c o s?? tta dc o s? tta dc o s 22 ??? ? Ca ?? 2 4 2si n2 tt ?a x22 xa ?taxarcsi n Cxax ??? 222122a?ttt c o ss in22s in ? 2? ax? axa 22 ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 解 : 令 ,),(,t a n 22 ????? ttax 則 22222 ta n ataax ??? ta sec?ttax ds e cd 2?∴ 原式 ?? ta 2sectasec td tt dse c??1t a ns e cln Ctt ???ax22 ax ?t?ln?)ln( 1 aCC ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? xa ? 1C?a ax22 ?例 . 求 解 : ,時當 ax ? 令 ,),0(,s e c 2??? ttax 則 22222 s e c ataax ??? ta tan??xd ttta dta ns e c∴ 原式 t?? d tta ta ns e cta tantt dse c??1t a ns e cln Ctt ???22 ax ?t1 ln C??)ln( 1 aCC ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22 ax ?a?xa,時當 ax ?? 令 ,ux ?? ,au ?則 于是 ? ??? 22d au u 122ln Cauu ?????122ln Caxx ??????1222ln Caxxa ??????)ln2( 1 aCC ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式 ? ??? 21)1( 22 ta221a例 . 求 .d422? ? xx xa解 : 令 ,1tx ? 則 原式 ?? tt d12?? ttta d)1( 2122? ???42112tta ?Cata ????2223)1( 23當 x 0 時 , 類似可得同樣結(jié)果 . )1(d 22 ?ta機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dxxax??422?? 22 xaxdx?? 222 xaxdx dxxxa??422對形如以下四種類型的積分采用 倒代換法 小結(jié) : 1. 第二類換元法常見類型 : ,d),()1( ? ? xbaxxf n令 n bxat ?,d),()2( ? ?? xxf n dxc bxa令 n dxc bxat ???,d),()3( 22? ? xxaxf 令 tax s in? 或 tax c o s?,d),()4( 22? ? xxaxf 令 tax t n? 或 tax sh?,d),()5( 22? ? xaxxf 令 tax s e c? 或 tax ch?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用基本積分公式的補充 (7) 分母中因子次數(shù)較高時 , 可試用 倒代換 ,d)()6( ? xaf x令 xat ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由導數(shù)公式 vuvuuv ?????)(積分得 : xvuxvuuv dd ???? ??分部積分公式 xvuuvxvu dd ?? ????或 uvvuvu dd ?? ??1) v 容易求得 。 利用倍角公式 , 如 思考與練習 1. 下列各題求積方法有何不同 ? ? ? xx4 d)1( ? ? 24 d)2( xxxxx d4)3( 2? ?xxx d4)4( 22? ?? ? 24 d)5( xx? ? 24 d)6( xx x? ??? 22214)4(dxxxx ??? 2121機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解： 求 x d x? 3s in 原式 xdx c os)c os1( 2? ??? ? ?? ?? xdx c os1c os 2?? ?? xdxdx c osc osc os 2Cxx ??? c osc os31 3經(jīng)驗： 當被積函數(shù)為三角函數(shù)的奇次方時，我們常分離出其中一個，放在微分因子中。 配元方法 (4) 巧妙換元或配元 等xx 22 c o ss in1 ??萬能湊冪法 ?? ? xxxf nn d)( 1 nnn xxf d)(1 ??? xxxf n d1)( nxnn xxf n d)( 11 ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積化和差 。 — 被積表達式 . — 積分變量 。CHAPTER 4 THE DEFINITE INTEGRAL 一、 原函數(shù)與不定積分的概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù) F (x) 及 f (x) 滿足 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) . 則稱 F (x) 為 f (x) 定理 . 存在原函數(shù) . 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 . 原函數(shù)都在函數(shù)族 ( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) . 證 : 1) 又知 ])()([ ???? xFx )()( xFx ??? ?? 0)()( ??? xfxf故 0)()( CxFx ??? )( 0 為某個常數(shù)C即 0)()( CxFx ??? 屬于函數(shù)族 .)( CxF ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即 定義 . 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為 上的不定積分 , 其中 — 積