線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-展示頁(yè)
2025-01-21 14:09本頁(yè)面
【正文】 ： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的分解 1 2 1 2 2 1( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )t t t t t t? ? ? ? ?? ? ?? ?1tx轉(zhuǎn)移 )0(x由狀態(tài)至狀態(tài) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的 ? ?2xt?轉(zhuǎn)移 )0(x由狀態(tài)至狀態(tài) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的 11( ) ( ) , ( ) ( )t t t t? ? ? ???? ? ? ?性質(zhì) 4： 其逆陣 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0)t t t t t t I? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?證明：由性質(zhì) 3得： 根據(jù)逆矩陣的定義，則： 11( ) ( ) , ( ) ( )t t t t? ? ? ???? ? ? ?17 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2 2 1 1( ) ( ) ( )x t t t x t???性質(zhì) 5： 通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移 證明： ? ? ? ? ? ?011 xttx ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111110 txttxtx ?????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11222 0 txttxttx ???????? ? ? ?112 txtt ???18 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2 0 2 1 1 0( ) ( ) ( )t t t t t t? ? ?? ? ? ?2 2 0 0( ) ( ) ( )x t t t x t???性質(zhì) 6： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的傳遞性 證明： ? ? ? ? ? ?1122 txtttx ???? ? ? ? ? ? ? ?001122 txtttttx ??????1 1 0 0( ) ( ) ( )x t t t x t?????又2 0 2 1 1 0( ) ( ) ( )t t t t t t? ? ?? ? ? ??由性質(zhì) 5 19 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 證明： 性質(zhì) 8： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的交換性 A B B A?()A B t At Bt Bt Ate e e e e? ??[ ( ) ] ( )kt k t?? ?性質(zhì) 7： 注意： 請(qǐng)熟練掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的多種性質(zhì)， 以便在解題中靈活應(yīng)用。 6 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解 ?? ?????? kk tbtbtbbtx 2210)()()( tAxtx ??齊次狀態(tài)方程的求解（時(shí)域、頻域） 0)0( bx ?顯然?? 、 kbbbx 10為 n維向量 ??? ????? ? 121 2)( kk tkbtbbtx)( 2210 ?? ?????? kk tbtbtbbA1）冪級(jí)數(shù)法 設(shè)其 解為 t的向量?jī)缂?jí)數(shù)形式 ，為： （ ） （ ） 將式 ，可得： （ ） 7 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk???????????? ?????? kk tbtbtbbtx 2210)(0)0( bx ?系統(tǒng)的初始狀態(tài)? ?0)!121()( 22 xtAktAAtItx kk ?? ????????? ????? ? 121 2)( kk tkbtbbtx)( 2210 ?? ?????? kk tbtbtbbA∴ 齊次狀態(tài)方程的解為： （ ） 8 定義 ： 22112!A t k ke I A t A t A tk? ? ? ? ? ?kkktAk????0 !1)0()( xetx At?稱為 矩陣指數(shù)函數(shù) ，簡(jiǎn)稱 矩陣指數(shù) ，又稱為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 00( ) ( ) ( )x t t t x t???齊次方程的解： 自由運(yùn)動(dòng)的解僅是初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移， 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息， 它唯一決定了系統(tǒng)中各狀態(tài)變量的自由運(yùn)動(dòng) 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 )( 0)( 0 txe ttA ??? ? Atte??記 為9 齊次狀態(tài)方程的求解問(wèn)題 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算問(wèn)題 ( ) ( ) ( 0 )x t t x??0 0t ?時(shí) 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 00( ) ( ) ( )x t t t x t??? )( 0)( 0 txe ttA ??10 2）拉普拉斯變換法 ? ? ? ? ? ?0sX s X A X s??? ? ? ? ? ?0sI A X s X??? ? ? ? ? ?1 0X s sI A x??? ? ? ? ?? ? ? ?011 xAsILtx ?? ??? ? ?? ?11 ?? ?? AsILe At)()( tAxtx ??L 拉氏變換符號(hào) 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 11 xx ????????? 3210????????01)0(x例 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，初始條件為 試求狀態(tài)方程的解。 5 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解 基于此思路 ， 可 先單獨(dú)考慮 系統(tǒng) 對(duì)初始條件的響應(yīng) ； 即 ， 需考慮 齊次狀態(tài)方程 （ 也稱 自由運(yùn)動(dòng)方程或自治方程 ， 因?yàn)?外部輸入為零 ） 的求解問(wèn)題 。 在數(shù)學(xué)上 ， 可歸結(jié)為：對(duì)于 給定的初始條件 和 輸入 u（ t） ，來(lái)求解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 。Modern Control Theory 1 第三章 線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 （ 狀態(tài)空間表達(dá)式求解） 2 第三章 線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 引言 ? 狀態(tài)空間表達(dá)式建立后（第二章知識(shí)），就需要根據(jù)對(duì)象的狀態(tài)空間模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，以期揭示系統(tǒng)的運(yùn)功規(guī)律和基本特性； ? 對(duì)系統(tǒng)的分析包括 定性分析和定量分析 兩類； ? 本章主要對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行精確研究（ 定量分析 ），即在已知外部輸入信號(hào)和系統(tǒng)初始狀態(tài)下，如何根據(jù)狀態(tài)空間模型來(lái)確定系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)。 3 第三章 線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 本章主要內(nèi)容 ? 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的求解 ? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ? 定義 ? 性質(zhì) ? 求法：直接計(jì)算法、拉氏變換法等 ? 線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解 ? 直接法（積分法） ? 拉氏變換法 Ate4 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解 何謂 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 ？ —— 即 ， 在給定的輸入信號(hào)和初始狀態(tài)下 ， 進(jìn)一步了解系統(tǒng)狀態(tài)和輸出的時(shí)間響應(yīng)的問(wèn)題 。 )0t()( 000 ?? 為了簡(jiǎn)便，一般取txtx另一方面，線性系統(tǒng)滿足 疊加定理 ； ∴ 要確定上述系統(tǒng)響應(yīng)，可 分別考慮 系統(tǒng) 對(duì)初始條件的響應(yīng) 和 對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng) ，兩者疊加就可得到所要的系統(tǒng)響應(yīng)。 齊次狀態(tài)方程的解： —— 系統(tǒng)在 輸入為零 的情況下 ， 由系統(tǒng)的 初始狀態(tài) x(t0)引起的自由運(yùn)動(dòng) ， 稱為系統(tǒng)的 自由解或零輸入解 。 解： )0(e)( x?? tt Ax??????????????????????????321321000sssss AI12 ????????????????????????????????????? ?2211221221112112213)2)(1(1)( 1sssssssssssss AI? 2211222 e e e e( ) e [ ( ) ]2 e 2 e e 2 et t t ttt t t tt L s?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???A IA ?????????????????????????????????????????????tttttttttttttt222222e2e2ee201e2ee2e2eeee2)0(e)( xxA 則： 13 本節(jié)要點(diǎn)： 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程解的定義及物理意義 求解的方法：冪級(jí)數(shù)法 拉氏變化法 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 14 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 性質(zhì) 1： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的初值為單位陣。 ? ? ? ? ? ? ? ?kk A k tA t k A tt e e e k t? ? ? ? ? ?????若 ，則： 20 ??????????????????
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