【正文】 點(diǎn)。 把一個(gè)重為 G 的物體用一個(gè)水平推力 F 壓在豎直的足夠高的墻壁 上， F 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律如圖 9 所示，則在 t = 0 開(kāi)始物體所受的摩擦力 f 的變化圖線是圖 10 中的 哪一個(gè)？ 解說(shuō)：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問(wèn)題和準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的問(wèn)題，但本題是一個(gè)例外。 答案：當(dāng)β = 90176。 看圖 8 的中間圖，對(duì)這個(gè)三角形用正弦定理，有： ?sinN2 = ?sinG ，即： N2 = ??sinsinG ， β在 0 到 180176。 顯然，隨著β增大， N1 單調(diào)減小，而 N2的大小先減小后增大，當(dāng) N2垂直 N1時(shí)， N2取極小值，且 N2min = Gsinα。 對(duì)球體進(jìn)行受力分析，然后對(duì)平行四邊形中的矢量 G和 N1進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖 8的左圖和中圖所示。 第三講 習(xí)題課 如圖 7 所示，在固定的、傾角為 α 斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板（ β不定），夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為 m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時(shí)，夾板對(duì)球的彈力最小。 非共點(diǎn)力的合成 大小和方 向：遵從一條直線矢量合成法則。 二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡 特征：物體無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。正確受力情形如圖 6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)， N就過(guò)重心了）。 答案： 距棒的左端 L/4處。 條件：Σ F? = 0 ，或 xF? = 0 ， yF? = 0 例題：如圖 5所示，長(zhǎng)為 L 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。 點(diǎn)積的大?。?c = abcosα，其中α為 a? 和 b? 的 夾角。 顯然， a? b? ≠ b? a? ，但有： a? b? = － b? a? ⑵ 點(diǎn)乘 表達(dá)： a? 意義：c? 的大小對(duì)應(yīng)由 a? 和 b? 作成的平行四邊形的面積。 ⑴ 叉乘 表達(dá)： a? b? = c? 名詞： c? 稱“矢量的叉積”，它是一個(gè)新的矢量。 （學(xué)生活動(dòng)）觀察與思考：這兩個(gè)加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)？ 答：否；不是。 根據(jù)加速度的定義 a? = tvv 0t?? ?得： ABa? = ABABt vv ?? ? ，ACa? = ACACt vv ?? ? 由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 1v?? = Bv? － Av? ， 2v?? = Cv? － Av? ，根據(jù)三角形法則，它們?cè)趫D 3 中的大小、方向已繪出（ 2v?? 的“三角形”已被拉伸成一條直線）。 解說(shuō)：如圖 3所示， A到 B點(diǎn)對(duì)應(yīng) 41 T 的過(guò)程， A 到 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng) 21 T 的過(guò)程 。 一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。 差矢量大?。?a = ??? co sbc2cb 22 ，其中θ為 c? 和 b? 的夾角。如圖 2 所示。 名詞： c? 為“被減數(shù)矢量”， b? 為“減數(shù)矢量”， a? 為“差矢量”。 和矢量大?。?c = ??? co sab2ba 22 ，其中α為 a? 和 b? 的夾角。 法則：平行四邊形法則。目錄 第一章 力＆物體的平衡 ……………………………………………（ 1） 第一講 力的處理………………………………………………… （ 1） 第二講 物體的平衡……………………………………………… （ 3） 第三講 習(xí)題課…………………………………………………… （ 3） 第四講 摩擦角及其它…………………………………………… （ 7） 第二章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 ………………………………………………（ 9） 第一講 牛頓三定律……………………………………………… （ 9） 第二講 牛頓定律的應(yīng)用…………………………………………（ 10） 第三章 運(yùn)動(dòng)學(xué) … ?????????????????????（ 17） 第一講 基本知識(shí)介紹………………………………………… （ 17） 第二講 運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)…………………………（ 19） 第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力 …………………………………………（ 22） 第一講 基本知識(shí)介紹………………………………………………（ 22） 第二講 重要模型與專題……………………………………………（ 23） 第三講 典型例題解析………………………………………………（ 30） 第五章 動(dòng)量和能量 ……………………………… ……………………… （ 30） 第一講 基本知識(shí)介紹……………………………………………（ 30） 第二講 重要模型與專題…………………………………………（ 32） 第三講 典型例題解析……………………………………………（ 44） 第一章 力＆物體的平衡 第一講 力的處理 一、矢量的運(yùn)算 加法 表達(dá)： a? + b? = c? 。 名詞： c? 為“和矢量”。如圖 1 所示。 和矢量方向： c? 在 a? 、 b? 之間，和 a? 夾角β = arcsin ???? c osab2ba sinb22 減法 表達(dá)： a? = c? － b? 。 法則：三角形法則。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 例題：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為 R ，周期為 T ，求它在 41 T 內(nèi)和在 21 T 內(nèi)的平均加速度大小。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為 Av? 、 Bv? 和 Cv? 。 本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然： Av = Bv = Cv = TR2? ，且：1v? = 2 Av = TR22 ? ， 2v? = 2 Av = TR4? 所以： ABa = AB1tv? = 4TTR22 ? = 2T R28 ? ， ACa = AC2tv? = 2TTR4? = 2TR8? 。 乘法 矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 叉積的大?。?c = absinα，其中α為 a? 和 b? 的夾角。 叉積的方向：垂直 a? 和 b? 確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖 4 所示。 b? = c 名詞： c 稱“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量。 二、共點(diǎn)力的合成 平行四邊形法則與矢量表達(dá)式 一般平行四邊形的合力與分力的求法 余弦定理（或分割成 RtΔ）解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 按效果分解 按需要 —— 正交分解 第二講 物體的平衡 一、共點(diǎn)力平衡 特征：質(zhì)心無(wú)加速度。 解說(shuō)：直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題，幾何關(guān)系比較簡(jiǎn)單。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：放在斜面上的均質(zhì)長(zhǎng)方體，按實(shí)際情況分析受力，斜面的支持力會(huì)通過(guò)長(zhǎng)方體的重心嗎？ 解：將各處的支持力歸納成一個(gè) N ，則長(zhǎng)方體受三個(gè)力（ G 、f 、 N）必共點(diǎn)，由此推知， N不可能通過(guò)長(zhǎng)方體的重心。 答：不會(huì)。 條件：Σ M? = 0 ，或Σ M+ =Σ M 如果物體靜止，肯定會(huì)同時(shí)滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。 作用點(diǎn)：先假定一個(gè)等效作用點(diǎn)，然后讓所有的平行力對(duì)這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。 解說(shuō)：法一，平行四邊形動(dòng)態(tài)處理。 由于 G的大小和方向均不變，而 N1的方向不可變，當(dāng)β增大導(dǎo)致 N2的方向改變時(shí)，N2的變化和 N1的方向變化如圖 8 的右圖所示。 法二，函數(shù)法。之間取值， N2的極值討論是很容易的。時(shí)，甲板的彈力最小。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速，平衡方程不再適用。 靜力學(xué)的知識(shí)，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。 物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力 f = μ N ，必持續(xù)增大。 對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程加以分析，物體必有加速和減速兩個(gè)過(guò)程。 答案： B 。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的 B 點(diǎn)。 解說(shuō)：平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來(lái)就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。 分析小球受力→矢量平移，如圖 12 所示，其中 F 表示彈簧彈力， N表示大環(huán)的支持 力。） 容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以： RABGF? ⑴ 由胡克定律： F = k（ AB R） ⑵ 幾何關(guān)系： AB = 2Rcosθ ⑶ 解以上三式即可。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù) k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈 力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？ 答：變小；不變。試判斷：在此過(guò)程中，繩子的拉力 T 和球面支持力 N怎樣變化？ 解：和上題完全相同。 如圖 14所示，一個(gè)半徑為 R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心 O點(diǎn)，先將它置于水平地面上，平衡時(shí)球面上的 A 點(diǎn)和地面接觸；再將它置于傾角為 30176。試求球體的重心 C到球心 O的距 離。 根據(jù)在平面上的平衡，可知重心 C 在 OA 連線上。幾何計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 （學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長(zhǎng)為 a 、厚為 b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？ 解：三力共點(diǎn)知識(shí)應(yīng)用。 兩根等長(zhǎng)的細(xì)線，一端拴在同一懸點(diǎn) O 上，另一端各系一個(gè)小球，兩球的質(zhì)量分別為 m1和 m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開(kāi)一定角度，分別為 45 和 30176。則 m1 : m2為多少？ 解說(shuō)：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問(wèn)題。 首先注意，圖 16 中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設(shè)為α。 對(duì)左邊的矢量三角形用正弦定理，有： ?singm1 = ?45sinF ① 同理，對(duì)右邊的矢量三角形 ， 有 ： ?singm2 = ?30sinF ② 解①②兩式即可。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：解本 題是否還有其它的方法？ 答：有 —— 將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將 O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對(duì) O的力矩必然是平衡的。 應(yīng)用：若原題中繩長(zhǎng)不等，而是 l1 ： l2 = 3 ： 2 ，其它條件不變， m1與 m2的比值又將是多少？ 解：此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一個(gè)正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。 如圖 17 所示，一個(gè)半徑為 R 的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為 L 的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面 。試問(wèn)：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？ 解說(shuō)：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。 同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦 f′ = RLR)LR(G ??? ?? = F′。 第四講 摩擦角及其它 一、摩擦角 全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用 R 表示，亦稱接觸反力。 此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動(dòng)，必有：φ m = arctgμ（μ為動(dòng)摩擦因素），稱動(dòng)摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，必有：φ ms = arctgμ s（μ s為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。 引入全反力和摩擦角的意義：使分析 處理物體受力時(shí)更方便、更簡(jiǎn)捷。 在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。 應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。 解說(shuō)：這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。 法一，正交分解。） 法二，用摩擦角解題。 再將兩圖重疊成圖 18 的右圖。的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊??故有： φ m = 15176。 答案： 。 答： Gsin15176。 如圖 19所示，質(zhì)量 m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小 F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，而斜面體始終靜止。重力加速度 g = 10m/s2 ，求地面對(duì) 斜面體的摩擦力大小。 法一，隔離法。注意，滑塊和斜面隨有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但從平衡的角度看，它們是完全等價(jià)的，可以看成一個(gè)整體。受力分析比較簡(jiǎn)單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。 （學(xué)生活動(dòng)）地面給斜面體的支持力是多少？ 解：略。 應(yīng)用：如圖 20 所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。若用一推力 F作用 在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動(dòng)，就必須施加一個(gè)大小為 P = 4mgsinθ cosθ的水平推力作用于斜面體。 解說(shuō)：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動(dòng)用一切可能的工具解題。 由第一個(gè)物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ = tgθ 對(duì)第二個(gè)物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將