【正文】 目錄 第一章 力＆物體的平衡 ……………………………………………（ 1） 第一講 力的處理………………………………………………… （ 1） 第二講 物體的平衡……………………………………………… （ 3） 第三講 習題課…………………………………………………… （ 3） 第四講 摩擦角及其它…………………………………………… （ 7） 第二章 牛頓運動定律 ………………………………………………（ 9） 第一講 牛頓三定律……………………………………………… （ 9） 第二講 牛頓定律的應用…………………………………………（ 10） 第三章 運動學 … ?????????????????????（ 17） 第一講 基本知識介紹………………………………………… （ 17） 第二講 運動的合成與分解、相對運動…………………………（ 19） 第四章 曲線運動 萬有引力 …………………………………………（ 22） 第一講 基本知識介紹………………………………………………（ 22） 第二講 重要模型與專題……………………………………………（ 23） 第三講 典型例題解析………………………………………………（ 30） 第五章 動量和能量 ……………………………… ……………………… （ 30） 第一講 基本知識介紹……………………………………………（ 30） 第二講 重要模型與專題…………………………………………（ 32） 第三講 典型例題解析……………………………………………（ 44） 第一章 力＆物體的平衡 第一講 力的處理 一、矢量的運算 加法 表達： a? + b? = c? 。 名詞： c? 為“和矢量”。 法則：平行四邊形法則。如圖 1 所示。 和矢量大?。?c = ??? co sab2ba 22 ，其中α為 a? 和 b? 的夾角。 和矢量方向： c? 在 a? 、 b? 之間，和 a? 夾角β = arcsin ???? c osab2ba sinb22 減法 表達： a? = c? － b? 。 名詞： c? 為“被減數(shù)矢量”， b? 為“減數(shù)矢量”， a? 為“差矢量”。 法則：三角形法則。如圖 2 所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數(shù)時量的時量，即是差矢量。 差矢量大小： a = ??? co sbc2cb 22 ，其中θ為 c? 和 b? 的夾角。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。 例題：已知質(zhì)點做勻速率圓周運動，半徑為 R ，周期為 T ，求它在 41 T 內(nèi)和在 21 T 內(nèi)的平均加速度大小。 解說：如圖 3所示， A到 B點對應 41 T 的過程， A 到 C 點對應 21 T 的過程 。這三點的速度矢量分別設為 Av? 、 Bv? 和 Cv? 。 根據(jù)加速度的定義 a? = tvv 0t?? ?得： ABa? = ABABt vv ?? ? ，ACa? = ACACt vv ?? ? 由于有兩處涉及矢量減法，設兩個差矢量 1v?? = Bv? － Av? ， 2v?? = Cv? － Av? ，根據(jù)三角形法則，它們在圖 3 中的大小、方向已繪出（ 2v?? 的“三角形”已被拉伸成一條直線）。 本題只關心各矢量的大小，顯然： Av = Bv = Cv = TR2? ，且：1v? = 2 Av = TR22 ? ， 2v? = 2 Av = TR4? 所以： ABa = AB1tv? = 4TTR22 ? = 2T R28 ? ， ACa = AC2tv? = 2TTR4? = 2TR8? 。 （學生活動）觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運動是不是勻變速運動？ 答：否；不是。 乘法 矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 ⑴ 叉乘 表達： a? b? = c? 名詞： c? 稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。 叉積的大?。?c = absinα，其中α為 a? 和 b? 的夾角。意義：c? 的大小對應由 a? 和 b? 作成的平行四邊形的面積。 叉積的方向：垂直 a? 和 b? 確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖 4 所示。 顯然， a? b? ≠ b? a? ，但有： a? b? = － b? a? ⑵ 點乘 表達： a? b? = c 名詞： c 稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標量。 點積的大?。?c = abcosα，其中α為 a? 和 b? 的 夾角。 二、共點力的合成 平行四邊形法則與矢量表達式 一般平行四邊形的合力與分力的求法 余弦定理（或分割成 RtΔ）解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 按效果分解 按需要 —— 正交分解 第二講 物體的平衡 一、共點力平衡 特征：質(zhì)心無加速度。 條件：Σ F? = 0 ，或 xF? = 0 ， yF? = 0 例題：如圖 5所示，長為 L 、粗細不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標示，求橫桿的重心位置。 解說：直接用三力共點的知識解題，幾何關系比較簡單。 答案： 距棒的左端 L/4處。 （學生活動）思考：放在斜面上的均質(zhì)長方體，按實際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的重心嗎？ 解：將各處的支持力歸納成一個 N ，則長方體受三個力（ G 、f 、 N）必共點，由此推知， N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖 6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個點，這時， N就過重心了）。 答：不會。 二、轉動平衡 特征：物體無轉動加速度。 條件：Σ M? = 0 ，或Σ M+ =Σ M 如果物體靜止，肯定會同時滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。 非共點力的合成 大小和方 向：遵從一條直線矢量合成法則。 作用點：先假定一個等效作用點，然后讓所有的平行力對這個作用點的和力矩為零。 第三講 習題課 如圖 7 所示，在固定的、傾角為 α 斜面上，有一塊可以轉動的夾板（ β不定），夾板和斜面夾著一個質(zhì)量為 m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時，夾板對球的彈力最小。 解說：法一，平行四邊形動態(tài)處理。 對球體進行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量 G和 N1進行平移，使它們構成一個三角形，如圖 8的左圖和中圖所示。 由于 G的大小和方向均不變，而 N1的方向不可變，當β增大導致 N2的方向改變時，N2的變化和 N1的方向變化如圖 8 的右圖所示。 顯然，隨著β增大， N1 單調(diào)減小，而 N2的大小先減小后增大，當 N2垂直 N1時， N2取極小值，且 N2min = Gsinα。 法二，函數(shù)法。 看圖 8 的中間圖，對這個三角形用正弦定理，有： ?sinN2 = ?sinG ，即： N2 = ??sinsinG ， β在 0 到 180176。之間取值， N2的極值討論是很容易的。 答案：當β = 90176。時，甲板的彈力最小。 把一個重為 G 的物體用一個水平推力 F 壓在豎直的足夠高的墻壁 上， F 隨時間 t 的變化規(guī)律如圖 9 所示，則在 t = 0 開始物體所受的摩擦力 f 的變化圖線是圖 10 中的 哪一個？ 解說：靜力學旨在解決靜態(tài)問題和準靜態(tài)過程的問題，但本題是一個例外。物體在豎直方向的運動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時的難點。 靜力學的知識，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。 水平方向合力為零，得：支持力 N持續(xù)增大。 物體在運動時，滑動摩擦力 f = μ N ，必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力 f′≡ G ，與 N沒有關系。 對運動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個過程。據(jù)物理常識，加速時， f ＜ G ，而在減速時 f ＞ G 。 答案： B 。 如圖 11所示，一 個重量為 G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為 k ，自由長度為 L（ L＜ 2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點 A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時位于大環(huán)上的 B 點。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。 解說：平行四邊形的三個矢量總是可以平移到一個三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。 分析小球受力→矢量平移，如圖 12 所示，其中 F 表示彈簧彈力， N表示大環(huán)的支持 力。 （學生活動）思考：支持力 N 可不可以沿圖 12 中的反方向？（正交分解看水平方向平衡 —— 不可以。） 容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以： RABGF? ⑴ 由胡克定律： F = k（ AB R） ⑵ 幾何關系： AB = 2Rcosθ ⑶ 解以上三式即可。 答案： arccos )GkR(2kL?。 （學生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù) k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈 力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？ 答：變??；不變。 （學生活動）反饋練習：光滑半球固定在水平面上，球心 O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖 13所示的 A位置開始緩慢拉至 B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力 T 和球面支持力 N怎樣變化？ 解：和上題完全相同。 答： T變小， N不變。 如圖 14所示，一個半徑為 R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心 O點，先將它置于水平地面上，平衡時球面上的 A 點和地面接觸；再將它置于傾角為 30176。的粗糙斜面上，平衡時球面上的 B 點與斜面接觸，已知 A 到 B 的圓心角也為 30176。試求球體的重心 C到球心 O的距 離。 解說：練習三力共點的應用。 根據(jù)在平面上的平衡，可知重心 C 在 OA 連線上。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點，可以畫出重心的具體位置。幾何計算比較簡單。 答案： 33 R 。 （學生活動）反饋練習：靜摩擦足夠，將長為 a 、厚為 b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？ 解：三力共點知識應用。 答： ?ctgba 。 兩根等長的細線，一端拴在同一懸點 O 上，另一端各系一個小球，兩球的質(zhì)量分別為 m1和 m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為 45 和 30176。，如圖 15 所示。則 m1 : m2為多少？ 解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學問題。 對兩球進行受力分析，并進行矢量平移，如圖 16所示。 首先注意，圖 16 中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設為α。 而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設為 F 。 對左邊的矢量三角形用正弦定理，有： ?singm1 = ?45sinF ① 同理，對右邊的矢量三角形 ， 有 ： ?singm2 = ?30sinF ② 解①②兩式即可。 答案： 1 ： 2 。 （學生活動）思考：解本 題是否還有其它的方法？ 答：有 —— 將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將 O點看成轉軸，兩球的重力對 O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。 應用：若原題中繩長不等，而是 l1 ： l2 = 3 ： 2 ，其它條件不變， m1與 m2的比值又將是多少？ 解：此時用共點力平衡更加復雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。 答： 2 ： 3 2 。 如圖 17 所示，一個半徑為 R 的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為 L 的輕質(zhì)細桿，細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面 。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為 F 的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進一些，至少需要多大的水平推力？ 解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。 以球和桿為對象，研究其對轉軸 O 的轉動平衡，設木板拉出時給球體的摩擦力為 f ，支持力為 N ，重力為 G ，力矩平衡方程為： f R + N（ R + L） = G（ R + L） ① 球和板已相對滑動，故： f = μ N ② 解①②可得： f = RLR)LR(G ??? ?? 再看木板的平衡， F = f 。 同理，木板插進去