【正文】 . 四、 （ 分分 2438 ?? ） 1．求微分方程 dyeydxydyx y2?? 的通解 . 2．求微分方程 xyy sin4???? 的通解 . 3． 求圓 3?? 與心形線 )cos1(2 ?? ?? 所圍成的陰影部分的面積 . 五、（ 分分 1628 ?? ） 1．求曲線 ) 0 ( sin ???? xxy 與 x 軸所圍圖形繞直線 ?2?x 旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 . 2． 設(shè) dttxS x??0 cos)(，（ 1）當(dāng) n 為正整數(shù)，且 ?? )1( ??? nxn 時，證明： )1(2)(2 ??? nxSn ； （ 2）求xxSx )(lim???. 08級 B 上期末 一、填空題（每題 4分，共 5題，共 20分） 1．設(shè) ?????? ??? 21ln xxy，則 ?yd . 2．曲線 xexy ?? 向 上凸的區(qū)間為 . 3．設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，且 ? ?10 d)( Axxf，則 ? ?10 d)( 2321 xxfx . 4． ??? ??? xxee xx d)1)(s in( 1 1 . 5．微分方程 0d)1(d 2 ??? yxxxy 的通解是 ?y . 二、 單項選擇題 （每題 4 分， 共 4題， 共 16 分） 1. 如圖 ,曲線段的方程為 )(xfy? ，函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],0[ a 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分 ? ?a xxfx0 d)(等于（ ） （ A）曲邊梯形 ABOD 的面積；（ B）梯形 ABOD 的面積； （ C）曲邊三角形 ACD 的面積；（ D）三角形 ACD 的面積 . 2．設(shè) ]1 ,1[)( ??Cxf ，則 0?x 是函數(shù) x ttfxgx?? 0 d)()( 的（ ） （ A） 跳躍間斷點； （ B） 可去間斷點； （ C）第二類 無窮間斷點； （ D） 連續(xù)點 . 3． 廣義積分 xxx d1 2? ???? ? （ ） o x 3?? )cos1(2 ?? ?? 3 4 y x o ))(,( afaA ))(,0( afC )(xfy? D )0 ,(aB （ A）收斂且等于 0 ；（ B）收斂且等于 2? ；（ C）收斂且等于 ? ；（ D）發(fā)散 . 4．微分方 程 09 ???? yy 通過 )1 ,( ?? 且在該點與直線 1??? ?xy 相切的積分曲線為 （ ） （ A） xCxCy 3s in3c o s 21 ?? ； （ B） xxy 3sin3cos ?? ； （ C） xy 3cos? ； （ D） xxy 3sin313c os ?? . 三、（每題 7分，共 3題，共 21 分） 1．求 )sin1(lim320 x xxx ??. 2．求 xxx d sin1 sin1? ?? . 3．求??? ????? )()()( tftfty tfx )0)(( ??? tf ，求 xydd ， 22ddxy . 四、（每題 8分，共 3題，共 24 分） 1．求 xe x d 12ln2 2ln ? ?. 2．求微分方程 0dd)( 2 ??? ? yxxexy x 滿足條件 )1( ??y 的特解 . 3． 設(shè) ? ??? x ttftxxxf0 d)()(s in)(，其中 )(xf 連續(xù)，求 )(xf . 五、（每題 7分，共 2題，共 14 分） 1．求由曲線 xy sin? ， xy cos? ， ]45 ,4[ ???x 所圍平面圖形 D 的面積 . 2．求上題中的 D 繞直線 ?2?x 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V . 六、（ 5 分） 設(shè) )(xf 連續(xù)，且是以 2 為周期的函數(shù)，證明函數(shù) ?? ?? 200 d)(d)(2)( ttfxttfxF x 也是以 2 為周期的函數(shù) . 09級 B 上期末 一、填空題（每題 4分，共 5題，共 20分） 1．設(shè) 12 ?? xey ，則 ??3d xy . 2． 設(shè)??? ? ?? ty tx arccos)1ln(， 則 ??0dd txy . 3． ??? xxe x d)5sin2( 3 . 4．若 Cxxxf ??? 2se cd)( ， 則 ?)(xf . 5．微分方程 0dd ??xyxy 的通解為 . 二、 單項選擇題 （每題 4 分， 共 5題， 共 20 分） 1. 當(dāng) 0?x 時， ttxf xe dsin)( 1 0 2? ??是 )sin(2)( xxxg ?? 的（ ） （ A）高階無窮小 ； （ B）低階無窮小 ； （ C）同階非等價無窮小 ； （ D）等價無窮小 . x y o 4? 45? xy sin? xy cos? ?2 D 2．設(shè) f 連續(xù)， 且 0d)]()([ 0 ???? xxfxafa ?（ 0?a ， ? 為常數(shù)），則 ?? （ ） （ A） 1； （ B） 1? ； （ C） 2 ； （ D） 2? . 3． )(xf 為連續(xù)的奇函數(shù)， tttfxF x d1 1)( )( 0 2? ? ??，則 ?? )0(F （ ） （ A） 1； （ B） 1? ； （ C） 2 ； （ D） 2? . 4．函數(shù) 336 xxxy ??? 在 1?x 處有 （ ） （ A）極小值； （ B）極大值； （ C）拐點； （ D）既無極值又無拐點 . 5． 一階微分方程 xyeyxxy ?? 1dd的類型是（ ） （ A）線性方程 ； （ B）可分離變量的方程 ； （ C）齊次 型 方程 ； （ D）貝努利方程 . 三、（每題 8分，共 3題，共 24 分） 1．求 ])1ln( 11[lim0 xxx ???. 2．求 xxx x d 22 122? ?? ?. 3．求 xxxxx d)45t a n(1 1 23?? ??. 四、（每題 8分，共 3題，共 24 分） 1．設(shè)有拋物線 241xy? . （ 1）求在點 ) 1 ,2 (M 處的法線方程；（ 2）求此法線與該 拋物線所圍圖形的面積 A . 2．正方形如圖所示 . 拋物線 22 xya ? （ 10 ??a ）將 正方形分成左右兩部 分，分別記為 1S 與 2S .將 1S 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體積 1V ， 將 2S 繞 x 軸旋 轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體積 2V .（ 1）問當(dāng) a 為何值時， 21 VVV ?? 取得最小值； （ 2）求出 V 的最小值 . 3．求微分分方程 xeyyy 396 ?????? 的通解 . 五、（每題 6分，共 2題，共 12 分） 1．證明：當(dāng) 0?x 時， )1ln(22 xxx ??? . 2．（ 1）敘述“羅爾定理”的條件與結(jié)論；（ 2）設(shè)非負(fù)函數(shù) ]1 ,0[)( Cxf ? ，試證 ) 1 ,0(??? ，使在 ] ,0[ ? 上以 )(?f為高的矩形面積等于在 ]1 , [? 上以 )(xfy? 為曲邊的曲邊梯形面積 . 10級 B 上期末 一、選擇題 (每題 3分 ,共 5題 ) 設(shè) 0)0( ?f ， )0(f? 存在，則 xxfx )2(lim0?等于（ ）。 函數(shù) 3136)( xxxxf ??? ?在 1?x 處有（ ）。 下列四項中正確的是（ ）。 下列廣義積分收斂的是（ ） （ A） ? ??1 21 dxx ； （ B） ? ?? ?1 21 dxx ； （ C） ? ?? ?1 1dxx； （ D） ? ?? ?1 23 dxx 。 （ A） 2 2ln1? ； （ B） 2 2ln1? ； （ C） 2 12ln ? ； （ D） 22ln 。 函數(shù) xxxxf 1232)( 23 ??? 在 ]2,0[ 上的最小值為 。 ????? dxxxx11 22 )4( 。 三 、計算題 (每題 6分 ,共 5題 )4002 )1(limxdtex tx? ???。 ?? dxx 32 )1( 1 。 求微分方程 12 ???? xyyx 滿足 3)1( ?y 的特解。 建造容積為一定的開口圓柱形容器，若底面積每平方米的造價是側(cè)面每平方米造價的兩倍，問底半徑與高成怎樣的比例，才能使該容器造價最低？ 求曲線 ],2[sin ???? xxy 和它在 2??x 處的切線以及直線 ??x 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 已知 1)( ?? xf ， ]1,0[?x ，并且 021 ???????f，證明： 41)(10 ?? dxxf 。 A 、 6? B 、 6 C、 8 D、 8? 曲線 )1ln( 2 ?? xy 在區(qū)間 )1,( ??? 內(nèi) （ ） A、上升且向上凸； B、上升且向下凸； C、下降且向上凸； D、下降且向下凸 ?????? )(lim 2 xxxx )(。 A 、 ???1 2xdx B 、 ???1 xdx C、 ???1 xdx D、 ? ??1 dxx 平面 32 ??? zyx 與直線???????????3221tztytx 的夾角是)( 。 設(shè) xxexf ??)( ，則 ?)0()2022(f )( 。 ????2 252 )c oss in(?? dxxxx )( 。 三、計算題：（每小題 7 分） 計算極限 32020coslimxdtttxx????????。 計算不定積分 ? ? dxxx )23sin( 。 設(shè)????????? 1)1(110)(2 xxxxf ，求 ? ?30 )1( dxxxf 。 在橢圓 1432222 ?? yx 的內(nèi)截矩形中，求面積最大且邊平行坐標(biāo)軸的矩形。 五、證明題：（第一題 6 分、第二題 5 分） 證明方程 12 ?xxe 有且僅有一個小于 1的正根。 07 級 B 下期中 一、填空題 （每小題 4分，共 20 分） 1． 直線 L：??? ?? ??? 252 1zy zyx 的方向向量為 . 2．將曲線?????? ?? 0 122x zy繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面方程為 . 3．冪級數(shù) ?????1 )3()1( nnnnx 的收斂域為 . 4．????????????0 , 0 0 ,),(2222223yxyxyx yxyxf ，則 ?)0,0(xf . 5． 若 yxeu 2?? ，則 ?)1,1(du . 二、單項選擇題 （ 分分 1644 ?? ） 1． na 與 nb 符合什么條件，可由 ???1n na發(fā)散，推出 ???1n nb也發(fā)散（ ） （ A） na ? nb ； （ B） na ? nb ； （ C） na ? nb ； （ D） na ? nb . 2．若 yeyxf x sin),( 2? ，則)0,0(5149100yx f???等于 （ ） （ A） 492? ； （ B） 492 ； （ C） 0； （ D） 1002 . 3．已知冪級數(shù) ??? ?0 )2( nnn xa 在 0?x 處收斂，在 4??x 處發(fā)散，則 冪級數(shù) ??? ?0 )3( nnn xa 的收斂域為 （ ） （ A） ]5,1[ ； （ B） ]5,1( ； （ C） )2,2[? ； （ D） ]2,2(? . 4．（本題強(qiáng)化班不做，其他班做 .） 設(shè)??????????????xxxxxf2 ,520 , )( ，展開成正弦級數(shù) ???1 sinn n nxb，其中? ?? ?? 0 ) ,2 ,1( s i n)(2 ?nnx dxxfb n ，其和函數(shù)為 )(xS ，則 )25( ??S 等于 （ ） （ A） 25 ； （ B） 25 ? ； （ C） 0； （