【正文】 { ???, }中的聯(lián)結(jié)詞的公式。 2． 解 ? pqp ?? )( ))(())(( pqppqp ???????? ))(())(( pqppqp ?????????? )( pqpp ?????? qp ???? ? )( pqp ?? ))(( pqp ???? ))()(( pqpqp ???????? ))(( pqp ????? )( qp??? qp ???? ? rqp ?? )( ))(( rqp ???? ))(( rqp ????? rqp ???? 3． 證明 因為， { ????? , }是功能完備聯(lián)結(jié)詞集，所以， 含有 { ????? , }外的其他聯(lián)結(jié)詞的公式均可以轉(zhuǎn)換為僅含 { ????? , }中的聯(lián)結(jié)詞的公式。 ?設(shè) p：明天我將去北京； q：明天我將去上海。 習(xí)題 1． 解 ?設(shè) p：明天下雨； q：后天下雨。 前提： p?(q?r)， q??p， s??r， p 結(jié)論： ?s 證明 p?(q?r)為真，其前件 p 為真，所以 q?r 為真， 又 q??p 為真，其后件 ?p 為假，所以要求 q 為假，所以 r 為真。 故張三說謊，李四說真話，王五說謊。 則： p??q, q??r(??q?r), r?(?p??q)為真 , 因此 p?(?p??q)?(p??p??q)?(?p?(p?q))??p?q 為真。則命題符號化 )( rqp ?? 7 其否定 ))(( rqp ??? ))(( rqp ????? rqp ????? 所以語句的否定：他努力學(xué)習(xí)，但是沒有上清華大學(xué)，也沒有上北京大學(xué)。則命題符號化 p?(q??r) 其否定 ?( p?(q??r)) ??(?p?(q??r)) ? p??( q??r) ? p?(?q? r) 所以語句的否定：天冷并且他不穿外套或者穿襯衫。 所以語句的否定：當(dāng)且僅當(dāng)水不溫暖時他游泳。則命題符號化 p?q。 所以語句的否定：他學(xué)習(xí)很努力但沒有通過考試。則命題符號化 p?q。 表 219 p q p? qp?? )( qp??? A 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 ?真值表如表 220 所示，所以公式是重言式。 表 217 p q p? q? qp?? qp ?? A 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 0 0 1 0 0 ?真值表如表 218 所示，所以公式是重言式。 ? 真值表如表 216 所示 ： 表 216 p q ?p ?q p?q ?q ??p A 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 所以公式是重言式。 ? 同理可證 ?(?p?q)? p?q。 ? p?(q?r)?? p?(?q? r) ?? q?(?p? r)? q?( p ?r)。 ? (p?q)?(q?p)?(?p?q) ?(?q?p) ?(?p??q)?(?p? p)?( q??q)?(q? p) ?( p?q)?(?p??q)。 ?真值表如表 215 所示： p q r q?r p?(q?r) p?q (p?q)?r 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 5 表215 由真值表可以看出 p?(q?r)和 (p?q)?r 所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。 ?真值表如表 213 所示： 表 213 p q q? qp? qp ?? )()( qpqp ???? 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 由真值表可以看出 p 和 )()( qpqp ???? 所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。 ?設(shè) )())()(( rprqqpA ?????? ， 其真值表如表 211 所示： 表 211 p q r qp? rq? )()( rqqp ??? rp? A 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 故 )())()(( rprqqpA ?????? 為重言式。 ?設(shè) A=(p?q)??(p?q)，其真值表如表 29 所示： 表 29 p q p?q p?q ?(p?q) A 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 故 A=(p?q)??(p?q)為矛盾式。 ? )()( qpqpA ????? 真值表如表 27 所示， 所以其成真賦值為： 00， 11；成假賦值為：01， 10。真值表如表 24 所示： 3． 解 ? pqpA ????? )( 真值表如表 25 所示： 表 25 p q p? q? qp ??? A 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 所以其成真賦值為： 00， 10， 11；其成假賦值為 01。真值表如表 22 所示： 2 表 22 p q qp? )( qpq ?? A 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ? )()( qprqpA ????? 是 3 層公式。 ? (p?q)??(?q?( q??r))是 5 層公式，這是因為 一層： p?q， ?q， ?r 二層： q??r 三層： ?q?( q??r) 四層： ?(?q?( q??r)) 2． 解 ? A=(p?q)?q 是 2 層公式。 ? 一層： p?q， ?p 二層： ?p?q 所以， )()( qpqp ???? 是 3 層公式。 習(xí)題 1． 解 ?是 1 層公式。? q?p。 4． 解 ? ?p?(q?r)。 ?李春錯過考試當(dāng)且僅當(dāng)他遲到了。 3． 解 ?如果李春遲到了，那么他錯過考試。設(shè) p：王海是女孩子。 ?不是命題 ?。 p?q。 ?是復(fù)合命題。設(shè) p：王海在學(xué)習(xí)； q：李春在學(xué)習(xí)。 ?是原子命題。 ? 是疑問句，所以不是命題。設(shè) p：他們明天去百貨公司； q：他們后天去百貨公司。 ?是假命題。 ?是真命題。 ?是命題，真值由具體情況確定。 ?問句，不是陳述句，所以不是命題。 1 第一 章 命題邏輯 習(xí)題 ． 解 ?不是陳述句，所以不是命題。 ? x 取值不確定，所以不是命題。 ?驚嘆句，不是陳述句，所以不是命題。 ?是命題，真值由具體情況確定。 ?是悖論，所以不是命題。 2． 解 ?是復(fù)合命題。命題符號化為 qp? 。 ?是悖論，所以不是命題。 ?是復(fù)合命題。命題符號化為 p?q。設(shè) p：你努力學(xué)習(xí)； q：你一定能取得優(yōu)異成績。 ?不是命題。是復(fù)合命題。命題符號化為： ?p。 ?要么李春遲到了，要么李春錯過了考試，要么李春通過了考試。 ?如果李春遲到了并且錯過了考試，那么他沒有通過考試。? p?q。? q ? p。 ?不是公式。 ?不是公式。真值表如表 21 所示： 表 21 p q qp? A 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ? pqpqA ???? )( 是 3 層公式。真值表如表 23 所示： 表 23 p q r qp? rqp ?? qp? A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )()()( rqrpqpA ??????? 是 4 層公式。 ? )( qprA ??? 真值表如表 26 所示： 表 26 p q r qp? A 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 3 所以其成真賦值為： 000， 010， 100， 110， 111；其成假賦值為 001， 011， 101。 4． 解 ?設(shè) )( qppA ???? ，其真值表如表 28 所示： 表 28 p q qp? )( qp?? A 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 故 )( qppA ???? 為重言式。 ?設(shè) A=(p?q)?(?p?q)，其真值表如表 210 所示： 表 210 p q p? qp?? qp? A 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 故 A=(p?q)?(?p?q)為可滿足式。 習(xí)題 1． 解 ?真值表如表 212 所示： 表 212 p q p? q? qp ??? qp? )( qp?? 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 由真值表可以看出 )( qp?? 和 qp ??? 所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。 ?真值表如表 214 所示： 表 214 p q p? q? qp? qp ?? )()( qpqp ???? 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 由真值表可以看出 ?p 和 (p?q)?(p??q)所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。 2． 證明 ? (p?q)?? (?p?q)? (p?q)?( p??q) ? p? (q??q)? p。 ?由?可得， ?(p?q)??(( p?q)?(?p??q)) ?(? p??q)?(p?q)?(q??p)?(?p?q)??p?q。 ? )()( rqprqp ?????? rqp ???? )( rqp ????? )( rqp ???? )( ? )()()()( qrqpqrqp ????????? qrp ????? )( qrp ??? )( 3． 解 ? ?(p??q)??(?p??q)?p?q ? ?(?p??q)??( p??q)??p?q ? ?(p??q)??((p??q)?(?q?p))??(p??q)??(?q?p) ?(p?q) ?(?p??q)? p?q。 4． 解 ? 與習(xí)題 2?2 第 4（ 4） 相同。 ?真值表如表 217 所示，所以公式是矛盾式。 表 218 p q r qp? rqp ?? A 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ?真值表如表 219 所示，所以公式僅為可滿足式。 表 220 p q r p?q r?q p?r (p?q)?(r?q) (p?r)?q A 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5． 解 ?設(shè) p：他努力學(xué)習(xí)； q：他會通過考試。 其否定 ?(p?q)? p??q。 ?設(shè) p：水溫暖； q：他游泳。 其否 定 ?(p?q)? p??q。