【正文】 ?。 七、解答題（ 6 分） 17. 設(shè) 4 階方陣 A 滿足 2TAA E? ，且 0A? ，求伴隨矩陣 *A 的一個(gè)特征值。 13. 設(shè)向量組 12: , , , LA ? ? ?和向量組 12: , , , ,SB ? ? ?的秩分別為 p 和 q ，試證明：若 A 可由 B 線性表示，則 pq? 。 C. 1,1,2? 。 5. 已知三階矩陣 A 的特征值為 1,1,2,? 則矩陣 2A A E?? 的特征值為（ ） A. 1, 1, 2?? 。 4. 如果向量 ? 可由向量組 12, , , s? ? ? 線性表示，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 存在一組不全為零的數(shù) 12, , , sk k k 使等式 1 1 2 2 ssk k k? ? ? ?? ? ? ?成立。R A R B? C. ( ) ( )。A B A B A B? ? ? ? D. 若 A 可逆， 0k? ，則 1 1 1( ) .kA k A? ? ?? 3. 設(shè)矩陣 A 經(jīng)過初等行變換變?yōu)榫仃?B ，則有（ ） A. ( ) ( )。k k kAB A B? B. 。 C. 21 53 16 42 65 34a a a a a a。 202220222 級(jí) 線性代數(shù)期末試卷 (A) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1. 在下列構(gòu)成 6 階行列式展開式的各項(xiàng)中，取“ ? ”的有（ ） A. 15 23 32 44 51 66a a a a a a。 七、解答題 (6 分 )： 16．求曲線 221x xy y? ? ? 所圍成的圖形的面積。 13 設(shè) A 和 B 為同階正交矩陣，證明 AB 也為正交矩陣． 五、計(jì)算題（ 14 分） ： 14．解矩陣方程 2 1 1 1 1 32 1 04321 1 1X??? ?????? ???????。202220221 線性代數(shù)期末考試試卷（ A 卷） 一、單項(xiàng)選擇（ 20 分＝ 4 分 ? 5）： 1． 112233440000 ()00ababbaba? （ A ） 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? , (B ) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? , (C ) 1 2 1 2 3 4 3 4( )( )a a b b a a b b??, (D ) 2 3 2 3 1 4 1 4( )( )a a b b a a b b??． 2． 設(shè) ,AB為同階方陣，則（ ）成立 （ A ） A B A B? ? ? , (B ) AB BA? , (C ) AB BA? , (D ) ? ? 1 11A B A B? ??? ? ?． 3． 設(shè) A 為 mn? 矩陣，齊次線性方程組 0AX? 僅有零解的充分必要條件是 A 的（ ）． (A ) 列向量組線性無關(guān)， （ B ） 列向量組線性相關(guān)， （ C ）行向量組線性無關(guān)， （ D ） 行向量組線性相關(guān)． 4． 向量 ,??? 線性無關(guān)，而 ,??? 線性相關(guān)，則（ ）。 (A ) ? 必可由 ,??? 線性表出， （ B ） ? 必不可由 ,??? 線性表出， （ C ） ? 必可由 ,??? 線性表出， （ D ） ? 必不可由 ,??? 線性表出． ５．二次型 ? ?2 2 21 2 3 1 2 3( , , ) ( 1 ) 1f x x x x x x? ? ?? ? ? ? ?，當(dāng)滿足（ ）時(shí)，是正定二次型． (A ) 1??? ； （ B ） 0?? ； （ C ） 1?? ； （ D ） 1?? ． 二、填空題（ 20 分＝ 4 分 5? ）： 6．0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0D ? ，則 D? _______． 7．設(shè) A 為四階方陣，若 A ＝ 0a? ，則其伴隨矩陣 *A 的行列式 *A =_______． 8．若 1 2 224369At???????，當(dāng) t? _______時(shí)， ? ?RA? 2． 9 ．設(shè) ? ? ? ? ? ?1 2 33 2 5? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，其中 12( 2 , 5 , 1 , 3 ) , (10 , 1 , 5 , 10 ) ,TT???? 3 (4,1, 1,1)T? ??， 則 ?? ________． 10．設(shè)21 1 01000Akk???????為正定矩陣，則 k? _______． 三、計(jì)算行列式（ 14 分）： 11． ? ?011 2 3231 1 11 0 0 01 0 01 0 0aa a a aaa? 四、證明（ 16 分＝ 8 分 2）： 12 設(shè) ,AB為 n 階方陣，且 A 為對(duì)稱矩陣，證明 TBAB 也是對(duì)稱矩陣。 六、計(jì)算題（ 10 分）： 15．三階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值為 0,2,2 ，對(duì)應(yīng)于特征值 0 的特征向量為 ? ?1 1,1,1 Tp ? ，求出相應(yīng)于特征值 2 的全部特征向量。 202220221 線性代數(shù)期末考試試卷（ A 卷） 一、單項(xiàng)選擇（ 16 分＝ 4 分 ? 4）： 1．以下結(jié)論正確的是（）， （ A ）若 A 的行列式 0,A? 則 0A? ； (B ) 若 2 0,A? 則 0A? ； (C ) 若 A 為對(duì)稱矩陣，則 2A 也是對(duì)稱矩陣； (D ) 對(duì)任意同階的矩陣 ,AB有 ? ?? ? 22A B A B A B? ? ? ?； 2. 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， *A 是 A 的伴隨矩陣，則（ ）成立； （ A ） *AA? ； (B ) 1* nAA?? ； (C ) * nAA? ； (D ) *1AA?? ． 3. 初等矩陣（）； (A ) 都可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣；（ B ） 所對(duì)應(yīng)的行列式的值都等于 1； （ C ） 相乘仍為初等矩陣； （ D ） 相加仍為初等矩陣； 4．設(shè) A 為 n 階方陣，則以下結(jié)論（ ）成立； (A ) 若 A 可逆，則矩陣 A 對(duì)應(yīng)于特征值 ? 的特征向量 x 也是矩陣 1A? 對(duì)應(yīng)于特征值 1?的特征向量； （ B ） A 的特征向量即為方程 ? ? 0A E x???的全部解； （ C ） A 的特征向量的線性組合仍為特征向量； （ D ） A 與 TA 有相同的特征向量； 二、填空題（ 16 分＝ 4 分 4? ）： 5．方程組 121200xxxx? ????? ???有非零解，則 ? ＝ _______； 6．設(shè) 3 0 01 4 00 0 3A???????，則 ? ? 12AE?? ＝ _______； 7． n 元齊次線性方程組 0AX? 僅有零解的充要條件是 _______； 8．設(shè) 1 2 3 4(1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 4 , 5 ) , ( , 4 , 5 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , 7 )? ? ? ?? ? ? ?，則該向量組的秩為_______； 三、解答下列各題（ 18 分＝ 9 分 ? 2）： 9．計(jì)算行列式0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0D ? ， 10． 解矩陣方程 2 1 1 1 1 32 1 04321 1 1X??? ?????? ??????? 四、計(jì)算題（ 10 分）： 11． 求解齊次線性方程組 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5303 4 3 05 9 8 0x x x x xx x x x xx x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ?? 五、證明題（ 20 分＝ 10 分 ? 2）： 12．設(shè) ,AB為 n 階方陣， 1 ()2A B E??，證明： 2AA? 的充要條件是 2BE? ； 13． 設(shè) n 維單位坐標(biāo)向量組 12,ne e e 可由向量組 12,n? ? ? 線性表示，證明12,n? ? ? 線性無關(guān)； 六、計(jì)算題（ 14 分）： 14．求矩陣1 1 2 3 22 2 1 3 41 1 0 3 20 3 2 3 32 3 3 4 5A????? ? ? ?? ? ? ???????的秩； 七、證明題 (6 分 )： 15．設(shè) A 是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明 A 可逆的充要條件是存在 n 階實(shí)矩陣 B ，使得TAB B A? 是正定矩陣。 B. 11 26 32 24 53 65a a a a a a。 D. 51 32 13 44 25 66a a a a a a. 2. 設(shè) ,AB為 n 階矩陣，下列運(yùn)算正確的是（ ） A. ( ) 。AA? ?? C. 22 ( ) ( ) 。R A R B? B. ( ) ( )。R A R B? D. 無法判定。 B. 存在一組全為零的數(shù) 12, , , ,sk k k 使等式 11 sskk? ? ?? ? ?成立； C. 存在一組數(shù) 12, , , ,sk k k 使等式 11 sskk? ? ?? ? ?成立； D. 對(duì) ? 的線性表達(dá)式唯一。 B. 1,3,7 。 D. 1,0, 3??. 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6．設(shè) ( , 1,2)ijA i j ? 為行列式 2131D?中元素 ija 的代數(shù)余子式 ，則 11 1221 22AAAA? 7．設(shè) 4 階方陣5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A????? ?????，則 1A?? 8． 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 31 2 32 2 02020x x xx x xx x x?? ? ???? ? ???? ? ??有非零解，則 ?? 9．已知向量組 1 2 3( 3 , 2 , 0 , 1 ) , ( 3 , 0 , , 0) , ( 1 , 2 , 4 , 1 )? ? ? ?? ? ? ? ?的秩為 2，則 ?? 10．設(shè) n 階方陣 A 的特征值為 12, , , n? ? ? ，則 kA （ k 為常數(shù)）的特征值為 三、計(jì)算 n 階行列式（本題 14 分） 11. 2 1 1 11 2 1 11 1 1 2nD ? 四、證明題（每小題 8 分，共 16 分） 12． 已知對(duì)于 n 階方陣 A ，存在自然數(shù) k ，使得 0kA? ，試證明矩陣 EA? 可逆，并寫出其逆矩陣的表達(dá)式。 五、解矩陣方程（ 14 分） 14．設(shè) 4 1 22 2 13 1 1A?????????， 132231B???????????，求 X 使 AX B? . 六、解答題（每小題 10 分，共 20 分） 15. 設(shè) 11,11A ???????? 1 2 11 0 1B ??? ??????， 求 AB . 16. 設(shè) ? ?1 2 3 40 , 4 , 2 , ( 1 , 1 , 0) , ( 2 , 4 , 3 ) , ( 1 , 1 , 1 )? ? ? ?? ? ? ? ? ?，求該向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向量表示成最大無關(guān)組的線性組合。 202220222 線性代數(shù)期末試卷 (A) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1. BA, 為 n 階矩陣，滿足 0?AB ，則必有 （ ） A. 0A? 或 0B? 。 C. 0A? 或 0B? 。AB BA? B. 若 A 可逆，則 TA 也可逆； C. 若 A 可逆， B 也可逆，則 AB? 也可逆； D. 若 A 可逆， B 也可逆，則 AB 不一定可逆； 3. 已知 21 )(,)( rBRrAR ?? ，則 )(ABR 為（ ） A. 12( ) 。R AB r r?? C. 21( ) 。R AB r r? 。 5. 實(shí)二次型 ? ? 23222121321 32, xtxxxxxxxf ???? ，當(dāng) ?t （）時(shí)，其秩為 2 A. 0 。 C. 2 。 13. 求線性方程組?????????????????543265421432143214321xxx