【正文】 自來水銷售價格 污水處理價格 每戶每月用水量 單價：元 /噸 單價：元 /噸 17 噸及以下 a 超過 17 噸不超過 30 噸的部分 b 超過 30 噸的部分 [說明： ①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量， ②水費 =自來水費 +污水處理費 ] 已知張老師家 2022 年 4 月份用水 21 噸，交水費 71 元； 5 月份用水 28 噸，交水費 106 元． （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）隨著夏天的到來，用水量將大幅增加，張老師計劃把 6 月份水費控制在家庭月收入的2%，若張老師家月收入為 9200 元，則按計劃張老師家 6 月份最多能用水多少噸？ 27．如圖， △ ABC 中， ∠ ABC 的角平分線與 ∠ ACB 的外角 ∠ ACD 的平分線交于 A1， （ 1）當 ∠ A 為 70176。；當 ∠ A=90176。； （ 2） ①探索 ∠ A 與 ∠ A1 之間數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論； ②若 ∠ A1BC 的角平分線與 ∠ A1CD 的角平分線交于 A2， ∠ A2BC 與 A2CD 的平分線交于A3，如此繼續(xù)下去可得 A …、 An，請你直接寫出 ∠ An 與 ∠ A 的數(shù)量關(guān)系 ______； （ 3）如圖，若 E 為 BA 延長線上一動點，連 EC， ∠ AEC 與 ∠ ACE 的角平分線交于 Q，隨著點 P 的運動， ∠ Q+∠ A1 的值是否變化？若變化，請說名理由；若不變，請求出其值． 第 4 頁（共 33 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每題 3 分） 1．若某三角形的兩邊長是 3 和 4，則下列長度的線段能作為其第三邊的是（ ） A． 10 B． 9 C． 7 D． 5 【考點】 三角形三邊關(guān)系． 【分析】 首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，求得第三邊的取值范圍，再進一步找到符合條件的數(shù)值． 【解答】 解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三邊 ＞ 兩邊之差，即 4﹣ 3=1，而 ＜ 兩邊之和，即 4+3=7， 即 1＜ 第三邊 ＜ 7， ∴ 只有 5 符合條件， 故選： D． 2．不等式 5x﹣ 1＞ 2x+5 的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A． B． C． D． 【考點】 在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 【分析】 先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可． 【解答】 解：移項得， 5x﹣ 2x＞ 5+1， 合并同類項得， 3x＞ 6， 系數(shù)化為 1 得， x＞ 2， 在數(shù)軸上表示為： 故選 A． 3．若 a＞ b，則下列式子中錯誤的是（ ） A． a﹣ 2＞ b﹣ 2 B． a+2＞ b+2 C． a＞ b D．﹣ 2a＞ ﹣ 2b 【考點】 不等式的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可． 【解答】 解： A、 ∵ a＞ b， ∴ a﹣ 2＞ b﹣ 2，故本選項正確； B、 ∵ a＞ b， ∴ a+2＞ b+2，故本選項正確； C、 ∵ a＞ b， ∴ a＞ b，故本選項正確； D、 ∵ a＞ b， ∴ ﹣ 2a＜ ﹣ 2b，故本選項錯誤． 故選 D． 4．若 am=2， an=3，則 a2m﹣ n 的值為（ ） A． 12 B． C． 1 D． 第 5 頁（共 33 頁） 【考點】 同底數(shù)冪的除法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】 首先應(yīng)用含 am、 an 的代數(shù)式表示 a2m﹣ n，然后將 am、 an 的值代入即可求解． 【解答】 解： ∵ am=2， an=3， ∴ a2m﹣ n =a2m247。 3 =22247。=360176。則其較大銳角的度數(shù)是 55176。根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出較小的銳角，然后列出方程求解即可． 【解答】 解：設(shè)較大的銳角度數(shù)是 x176。 由題意得， x﹣（ 90﹣ x） =20， 第 7 頁（共 33 頁） 解得 x=55， 即較大銳角的度數(shù)是 55176。． 13．若 a+b=5， ab=4，則 a2+b2= 17 ． 【考點】 完全平方公式． 【分析】 將已知 a+b 及 ab 的值代入完全平方公式（ a+b） 2=a2+2ab+b2 中，即可求出所求式子的值． 【解答】 解： ∵ a+b=5， ab=4， ∴ （ a+b） 2=a2+2ab+b2，即 25=a2+8+b2， 則 a2+b2=17． 故答案為： 17 14．已知二元一次方程組 ，則 x+y 的值是 ． 【考點】 解二元一次方程組． 【分析】 方程組兩方程相減，求出 x+y 的值即可． 【解答】 解： ， ①﹣ ②得： 2x+2y=5， 則 x+y=， 故答案為： 15．命題 “若 a=b，則 |a|=|b|”的逆命題是 若 |a|=|b|，則 a=b ． 【考點】 命題與定理． 【分析】 交換原命題的題設(shè)與結(jié)論部分即可得到逆命題 【解答】 解：命題 “若 a=b，則 |a|=|b|”的逆命題是： “若 |a|=|b|，則 a=b”． 故答案為若 |a|=|b|，則 a=b 16．如果不等式 組的解集為 x＜ ﹣ 1，則 m= ﹣ ． 【考點】 解一元一次不等式；不等式的解集． 【分析】 由 “同小取小 ”分情況討論，即可得關(guān)于 m 的方程，解方程可得 m 的值． 【解答】 解：若 3m+2≤ 4m+1，即 m≥ 1 時， 3m+2=﹣ 1， 解得： m=﹣ 1（舍）， 若 3m+2＞ 4m+1，即 m＜ 1 時， 4m+1=﹣ 1， 解得： m=﹣ ， 故答案為：﹣ ． 三、解答題 第 8 頁（共 33 頁） 17．計算：（﹣ ） ﹣ 1+（﹣ 2） 2 20220﹣（ ） ﹣ 2． 【考點】 負整數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪． 【分析】 首先計算負整數(shù)指數(shù)冪、零次冪和乘方，然后再計算乘法，最后算加減即可． 【解答】 解：原式 =﹣ 4+4 1﹣ 9， =﹣ 4+4﹣ 9， =﹣ 9． 18．分解因式：（ x+5） 2﹣ 4． 【考點】 因式分解 運用公式法． 【分析】 直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】 解：原式 =（ x+5+2）（ x+5﹣ 2） =（ x+7）（ x+3）． 19．分解因式： 2x3y﹣ 4x2y2+2xy3． 【考點】 提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】 解：原式 =2xy（ x2﹣ 2xy+y2） =2xy（ x﹣ y） 2． 20．解方程組： ． 【考點】 解二元一次方程組． 【分析】 第一個方程兩邊同時乘以 3，第二個方程兩邊乘以 2，相減消去 y 求出 x 的值，進而求出 y 的值，即可確定出方程組的解． 【解答】 解： ， ① 3﹣ ② 2 得： 11x=22， 解得： x=2， 將 x=2 代入 ①得： 10﹣ 2y=4， 解得： y=3． 則方程組的解為 ． 21．解不等式組： ． 【考點】 解一元一次不等式組． 【分析】 分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】 解： ，由 ①得， x＞ ﹣ 2，由 ②得， x≤ ， 第 9 頁（共 33 頁） 故不等式組的解集為：﹣ 2＜ x≤ ． 22．先化簡，再求值：（ x+y） 2﹣ 2x（ x+2y） +（ x+3y）（ x﹣ 3y），其中 x=﹣ 1， y=2． 【考點】 整式的加減 —化簡求值． 【分析】 首先去括號，合并同類項，將代數(shù)式化為最簡式，然后把 x、 y 的值代入，求出算式（ x+y） 2﹣ 2x（ x+2y） +（ x+3y）（ x﹣ 3y）的值是多少即可． 【解答】 解：當 x=﹣ 1， y=2 時， （ x+y） 2﹣ 2x（ x+2y） +（ x+3y）（ x﹣ 3y） =x2+2xy+y2﹣ 2x2﹣ 4xy+x2﹣ 9y2 =﹣ 8y2﹣ 2xy =﹣ 8 22﹣ 2 （﹣ 1） 2 =﹣ 32+4 =﹣ 28 23．已知 與 都是方程 y=ax+b 的解 （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）若﹣ 1＜ x≤ 2，求 y 的取值范圍． 【考點】 二元一次方程的解． 【分析】 （ 1）把 與 代入方程 y=ax+b 解答即可； （ 2）根據(jù)不等式組的解法解答即可． 【解答】 解：（ 1）由題意可得： ， 解得： ， （ 2）由（ 1）得： y=﹣ 4x+1， 可得： x= ， 因為﹣ 1＜ x≤ 2， 所以可得： ， 解得：﹣ 7≤ y＜ 5． 24．已知：如圖， CD⊥ AB， FG⊥ AB，垂足分別為 D、 G，點 E 在 AC 上，且 ∠ 1=∠ 2，求證： ∠ B=∠ ADE （ 1）請將下面的證明過程補充完整： 證明： ∵ CD⊥ AB， FG⊥ AB（已知） 第 10 頁（共 33 頁） ∴∠ BDC=90176。（ 垂直定義 ） ∴∠ BDC=∠ BGF ∴ DC∥ GF（ 同位角相等，兩直線平行 ） ∴ FG∥ CD （兩直線平行，同位角相等） 又 ∵∠ 1=∠ 2（已知） ∴ ∠ 1=∠ DCB （等量代換） ∴ DE∥ BC （ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ） ∴∠ B=∠ ADE（兩直線平行，同位角相等） （ 2）你在第（ 1）小題的證明過程中，應(yīng)用了哪兩個互逆的真命題？請直接寫出這一對互逆的真命題． 【考點】 平行線的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)平行線的判定推出 FG∥ CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出 ∠ 2=∠ DCB，求出 ∠ 1=∠ DCB，根據(jù)平行線的判定推出 DE∥ BC 即可． 【解答】 證明： ∵ CD⊥ AB， FG⊥ AB， ∴∠ CDB=90176。（垂直定義）， ∴ FG∥ CD（同位角相等，兩直線平行）， ∴∠ 2=∠ DCB（兩直線平行，同位角相等）， ∵∠ 1=∠ 2（已知）， ∴∠ 1=∠ DCB（等量代換）， ∴ DE∥ BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）， ∴∠ B=∠ ADE（兩直線平行，同位角相等）， 故答案為：垂直定義，同位角相等，兩直線平行， FG∥ CD， ∠ 1=∠ DCB， ∠ DCB，等量代換，內(nèi)錯角相等，兩直線平行． 25．拼圖是一種數(shù)學實驗，我們利用硬紙板拼圖，不僅可以探索整式乘法與因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系，還可以利用同一圖形不同的面積表示方法來探索新的結(jié)論． （ 1）觀察下面圖 ①的硬紙板拼圖，寫出一個表示相等關(guān)系的式子： （ 2a+b）（ a+b）=2a2+3ab+b2 ． （ 2）用不同的方法表示圖 ②中陰影部分的面積，可以得到的乘