【正文】 x y O θ 思考 3： 炮彈的射程 x與發(fā)射角 θ 之間的函數(shù)關(guān)系是什么？其圖象如何？炮彈發(fā)射角的最佳點是什么？ 射程 x O 發(fā)射角 θ 4? 2?2s i n 2 ( 0 )2vxg???? ? ?最佳點是 4?? ?思考 4： 上述結(jié)果表明，發(fā)射角在 內(nèi)有唯一的最佳點 ，當(dāng)發(fā)射角在 內(nèi)的取值比 大些或小些時射程都近，通常稱這樣的試驗具有 單峰性 .一般地，怎樣理解單峰性的含意？ [0, ]2?4? [0, ]2?4?在試驗范圍內(nèi)有唯一的最佳點，當(dāng)試驗范圍內(nèi)變化因素的取值比最佳點再大些或最小些時，試驗效果都差，而且取值距離最佳點越遠(yuǎn)試驗效果越差 . 思考 5： 下圖中的兩個函數(shù)稱為區(qū)間 [a， b]上的 單峰函數(shù) ，那么單峰函數(shù)的定義特征是什么？ x y O a b C f(x) x y O a b C g(x) 函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上只有唯一的最大 (小 )值點 C，且在點 C的兩側(cè)單調(diào)，并具有相反的單調(diào)性 . 思考 6： 下列各圖中的函數(shù)是區(qū)間 [a， b]上的單峰函數(shù)嗎？單峰函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)嗎？ x y O a b x y O a b x y O a b 規(guī)定：區(qū)間 [a， b]上的單調(diào)函數(shù)是單峰 函數(shù) . 單峰函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù) . 探究（三）： 因素與試點 思考 1： 在炮彈發(fā)射試驗中，除發(fā)射角外，客觀上還會因哪些原因影響炮彈的射程？ 初速度，空氣阻力，地理位置等 . 思考 2： 一般地，把影響試驗?zāi)繕?biāo)的諸多原因稱為 因素 .由于全面考慮試驗中的各種因素往往非常困難，常假設(shè)其中的某些因素保持不變，或忽略某些影響較小的因素，而把關(guān)注點集中在感興趣的某個因素上 .如果在一個試驗過程中，只有（或主要有）一個因素在變化，則稱這類問題為 單因素問題 . 炮彈發(fā)射試驗是否為單因素問題？認(rèn)為哪些因素保持不變？忽略了哪些因素？ 認(rèn)為初速度保持不變，忽略了空氣阻力 . 思考 3： 把試驗中可以人為調(diào)控的因素叫做 可控因素 ，不能人為調(diào)控的因素叫做不可控因素 ，炮彈發(fā)射試驗中哪些是可控因素，哪些是不可控因素？一般地，在試驗中我們感興趣的因素是哪種因素？ 發(fā)射角是可控因素，空氣阻力是不可控因素，感興趣的是可控因素 . 思考 4： 表示試驗?zāi)繕?biāo)與因素之間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)稱為 目標(biāo)函數(shù) ，常用 x表示因素，f(x)表示目標(biāo)函數(shù)，包含最佳點的因素范圍下限用 a表示，上限用 b表示 . 炮彈發(fā)射試驗的目標(biāo)函數(shù)，因素范圍上、下限分別是什么？ 目標(biāo)函數(shù) ： 2( ) s i n 2vf x xg?因素范圍上限 ： ， 下限 ： 0. 2?思考 5： 當(dāng)主要因素確定之后，接下來的任務(wù)是通過試驗找出最佳點，使試驗的結(jié)果（目標(biāo)）最好 . 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)沒有表達(dá)式時，一般要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ò才旁囼烖c（簡稱 試點 ），選擇試點方法找出最佳點的基本原則是什么？ 試點個數(shù)盡可能少 . 思考 6： 設(shè) x1和 x2是因素范圍 [a， b]內(nèi)的任意兩個試點， C為最佳點，把兩個試點中效果較好的點稱為 好點 ，效果較差的點稱為 差點 .若目標(biāo)函數(shù)為單峰函數(shù)，則好點與差點哪個更接近最佳點？ 若好點和差點在最佳點同側(cè)，則好點比差點更接近最佳點；否則，不好說 . x y O a b C f(x) x y O a b C f(x) 思考 7： 若目標(biāo)函數(shù)為單峰函數(shù)，則最佳點，好點，差點的相對位置關(guān)系如何？ x y O a b C f(x) x y O a b C f(x) 最佳點與好點必在差點的同側(cè) . 思考 8： 以差點為分界點，把因素范圍分成兩部分，其中好點所在部分稱為 存優(yōu)范圍 .據(jù)此，你能設(shè)計一個找最佳點的方法嗎？ 不斷縮小存優(yōu)范圍 理論遷移 例 1 據(jù)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計，人群中帶有某種傳染病毒的人所占的比例為 %.某市在一次高考體檢中有 1萬名考生待檢，為了查清這些考生中哪些人攜帶此病毒，醫(yī)院采取一種叫“群試”的方法，通過血液化驗進(jìn)行排查 .即把從每位考生身上抽取的血樣分成兩部分，一份保存?zhèn)溆?，一份與其他若干人的血樣混合在一起化驗．若某組混合血樣中含此病毒，說明這組人中有該病毒攜帶者，然后利用備用血樣逐個化驗排查；若某組混合血樣中不含此病毒，說明這組人中沒有該病毒攜帶者，這樣就可以減少化驗的次數(shù)．若將這 1萬名考生平均分成 200組進(jìn)行群試化驗排查，那么至多做多少次化驗，就一定能找出所有該病毒攜帶者 . 1424次 例 2 已知函數(shù) f(x)為區(qū)間 [0， 1]上的單峰函數(shù)，且 f(x)在 x＝ a時取最大值，并稱 a為 峰點 ，包含峰點的區(qū)間叫做 含峰區(qū)間 .證明：對任意 x1， x2∈(0 ， 1)， x1＜ x2，若 f(x1)≥ f(x2)，則 (0， x2)為含峰區(qū)間；若 f(x1)≤ f(x2)，則 (x1， 1)為含峰區(qū)間 . 例 3 已知函數(shù) 若 f(x)是 [0， 4]上的單峰函數(shù)，求 a的取值范圍 . 3 2 21( ) 2 3 23f x x ax a x? ? ? ?4( , 0] [ , )3? ? ? ?U小結(jié)作業(yè) （記為 x）處于某種狀態(tài)（記為 x＝ x0）時，試驗結(jié)果最好，那么這種狀態(tài)（ x＝ x0）就是這個因素（ x）的最佳點 . 最簡單的試驗，在這樣的試驗中，試驗結(jié)果可以表示為實驗因素的單峰函數(shù) . f(x)的真正表達(dá)式，因素范圍可以用 a到 b的線段來表示 . 不斷縮小存優(yōu)范圍是尋找最佳點的一個有效辦法 . 作業(yè)： P3習(xí)題 ： 1， 2. P5習(xí)題 ： 1， 2. 選修 4－ 7優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步 第一講 優(yōu)選法 三 .黃金分割法 —— 問題提出 t57301p 2??????? ？ 利用數(shù)學(xué)原理，合理安排試驗，以最少的實驗次數(shù)迅速找到最佳點的科學(xué)試驗方法 . [a， b]上的單峰函數(shù)的基本特點是什么？ 函數(shù)在區(qū)間 [a， b]上只有唯一的最大 (小 )值點 C，且在點 C的兩側(cè)單調(diào)，并具有相反的單調(diào)性 . 、差點和單峰函數(shù)存優(yōu)范圍的含義分別是什么？ 好點： 兩個試點中效果較好的點； 差點： 兩個試點中效果較差的點； 存優(yōu)范圍： 以差點為分界點，把因素范 圍分成兩部分，好點所在 部分對應(yīng)的范圍 . 次數(shù)迅速找到最佳點，在實際問題中，應(yīng)采取什么辦法貫徹這個原則？對具有單峰性的試驗，如何安排試點才能迅速找到最佳點？這才是優(yōu)選法的核心內(nèi)容，也是我們必須解決的問題 . 探究（一）： 黃金分割常數(shù) 思考 1： 對于單峰函數(shù)，最佳點與好點必在差點的同側(cè)，從而可以通過不斷縮小存優(yōu)范圍來尋找最佳點，具體如何操作？ 先在因素范圍 [a， b]內(nèi)任選兩點各做一次試驗，根據(jù)試驗結(jié)果確定好點與差點，在差點處把 [a， b]分成兩段，截掉不含好點的一段，留下存優(yōu)范圍 [a1， b1]再在 [a1， b1]內(nèi)重復(fù)上述工作， ?. 思考 2： 假設(shè)因素區(qū)間為 [0， 1]，取兩個試點 ，則對峰值在 (0， )內(nèi)的單峰函數(shù)，兩次試驗存優(yōu)范圍縮小到了什么區(qū)間？對峰值在 (， 1)內(nèi)的單峰函數(shù)，兩次試驗存優(yōu)范圍縮小到了什么區(qū)間？ x y O 1 f(x) (0， ) x y O 1 f(x) (， 1) 思考 3： 上述結(jié)果表明，如果試點選取是隨意的，則對尋找單峰函數(shù)最佳點的效率會產(chǎn)生一定的影響 .由于在試驗之前無法預(yù)知哪個試點是好點，為了克服盲目性和僥幸心理，在每次選取兩個試點時，你認(rèn)為這兩個試點應(yīng)具有什么相對位置關(guān)系為好？ 關(guān)于區(qū)間中點對稱 a b 思考 4： 在一個區(qū)間內(nèi)關(guān)于中點對稱的兩點有無數(shù)對，實踐表明，兩個試點離中點太近或太遠(yuǎn)，都不利于很快接近最佳點 .我們設(shè)想： 每次舍去的區(qū)間長度與舍去前的區(qū)間長度之比為常數(shù) .對單峰函數(shù)，若兩個試點的試驗結(jié)果一樣，應(yīng)如何舍去區(qū)間？ 同時舍去兩個試點外側(cè)的區(qū)間 . 思考 5： 在因素區(qū)間 [a， b]內(nèi)選取兩個試點 x1和 x2，且 x1＞ x2，由點 x1和 x2關(guān)于區(qū)間 [a， b]的中心對稱，可得什么關(guān)系？舍去的區(qū)間長度為多少？ x1 x2 a b x2－ a＝ b－ x1 思考 6： 不妨設(shè) x2是好點， x1是差點，則舍去的區(qū)間是什么？存優(yōu)范圍是什么？再在存優(yōu)范圍內(nèi) [a， x1]內(nèi)做試驗要取幾個試點？ 存優(yōu)范圍是 [a， x1] x1 x2 a b 舍去 (x1， b] 取一個試點 x2 a x1 思考 7： 在存優(yōu)范圍 [a， x1]內(nèi)取第三個試點 x3，則點 x2與 x3的相對位置關(guān)系如何？舍去的區(qū)間長度為多少？ x3 關(guān)于區(qū)間 [a， x1]的中心對稱，且點 x3在點 x2左側(cè)，舍去的區(qū)間長度為 x1－ x2. 思考 8： 根據(jù)按比例舍去原則，可得什么等式？ 1 1 21b x x xb a x a???