【正文】 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 25有限重復(fù)博弈 ? 假設(shè)廠商違背策略，只能在第一階段違背，因?yàn)榈诙A段采用的是 納什均衡策略 。 ? 假設(shè)博弈只進(jìn)行一次，則有 兩個(gè)純策略納什均衡 （中價(jià)，中價(jià)）和（低價(jià)，低價(jià)），對(duì)應(yīng)的均衡結(jié)果 分別是（ 3， 3）和（ 1， 1） 1, 2i ?iS?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 24假設(shè)博弈進(jìn)行 兩次 ，貼現(xiàn)率為 ?，則出現(xiàn)這樣的策略組合： ? 廠商 1：第一階段選取高價(jià)；若第一階段博弈結(jié)果是（ 5， 5），第二階段采取中價(jià)，否則采取低價(jià)。 ? 在例 ，若 5位船主的協(xié)調(diào)策略選擇 ，可以計(jì)算出 這樣降低了對(duì)合作的限制，增加了合作的可能性。 ? 越小，對(duì)合作的限制就越小，即合作的可能性就越大。 ? 現(xiàn)在將（ ）式表示的支付函數(shù)為 5人非合作博弈記為 G，并將 G作為原博弈進(jìn)行 無(wú)限次重復(fù)博弈 ，將 ( , )作為 觸發(fā)策略組合 ，由（ ）式有 無(wú)限重復(fù)博弈 90s? ?( ) 81 00 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5iu s i? ??i90s? ?45is ? ( ) 14 58 0i s? ? ?s? cs9 0 .6 4 314?? ??*2( ) m a x ( ) m a x ( 1 8 0 5 3 6 0 )iii i i i i i isss u s s s s s? ? ?? ? ? ?，（ ） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 22? 因此，當(dāng) 時(shí) ， 觸發(fā)策略組合 ( , )是 子博弈完美納什均衡 。 is 1, 2 , 3 , 4 , 5i ?521( ) ( ) 1 8 0 6i i i i i i i jju s D s s s s s s?? ? ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5i ?51( ) 1 8 0 6i i jjD s s s?? ? ? ?() 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 20 無(wú)限重復(fù)博弈 ? 令 ，并由博弈方收益對(duì)稱性，不難得出，有唯一的 純策略納什均衡和均衡結(jié)果 : ? 若 5條游船達(dá)成合作，統(tǒng)一定價(jià)為 ， 此時(shí)行動(dòng)組合為 則共同的收益為 0iius? ??( 30 , 30 , 30 , 30 , 30)cs ? ( ) 4500cius ? 1, 2 , 3 , 4 , 5i ?5 21( ) 5 ( 1 8 0 )iiu s s s? ? ??? ? ??( , , , , )s s s s s s? ? ? ? ? ??s?（ ） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 21? 由（ ）式， 最優(yōu)統(tǒng)一定價(jià) 為 ，代回到（ ）式，則每位船主 收益 為 。船主對(duì)自己游船定價(jià)為每小時(shí) 元， 。若對(duì)于貼現(xiàn)率有：對(duì)任意 有 () 則觸發(fā)策略組合是無(wú)限重復(fù)博弈 G的 子博弈完美納什均衡。 若每個(gè)局中人都采用觸發(fā)策略，稱為一個(gè) 觸發(fā)策略組合 ， 記為 ( , ) [ , { }, { }]iiG N S P? 12( , , , )c c c s s s s?12( , , , )ns s s s? ? ? ??( ) ( )ciiP s P s? ?iisS? ? is?\ { }j N i?js?s? csiN?cisii《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 17 無(wú)限重復(fù)博弈 定義 最好反應(yīng)支付 在原博弈 中，對(duì)給定的策略組合 ，記 () 稱 為局中人 對(duì)策略組合 的 最好反應(yīng)支付 。局中人 的策略為： （ 1）第一階段選擇 ，以后也一直選擇行動(dòng) ； （ 2）若第 t 階段博弈前有任意其它局中人 選擇不是 ，則它將選擇 ，并一直進(jìn)行到最后。這種行為組合序列有兩個(gè)特征： （ 1）這是一個(gè)“胡蘿卜加大棒”的策略組合，遵守了有胡蘿卜吃，違背了將受到“大棒”的懲罰； （ 2）這是可信的威脅（由貼現(xiàn)因子的大小決定），以至于沒有局中人愿意單獨(dú)地違背，這就遵循了納什均衡的原則。 例 價(jià)格戰(zhàn)重復(fù)博弈（續(xù)） 1/3? ?1/3??1/3??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 14167。由于時(shí)期 t是任意的，因此這個(gè)策略組合也是一個(gè) 子博弈完美納什均衡。 ? 在這種情況下，我們分析局中人是否愿意 單獨(dú)地違背 自己的策略。 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 11? 在閉環(huán)策略情況下，局中人 1可選擇的策略：先選擇“不降價(jià)”行為，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)對(duì)方采取的是“降價(jià)”行為后，他立即在下一期也選擇“降價(jià)”行為，并永不改變。 {1, 2}N ?1 1 2 2 1 2{ , }, { , }S a a S b b??1 1 1 2 1 2[ , ] [ , ]S S a a a a? ? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 10例 價(jià)格戰(zhàn)重復(fù)博弈 某城區(qū)有兩個(gè)商店出售同一商品，他們之間進(jìn)行價(jià)格戰(zhàn)，原博弈的情況見下表 若博弈只進(jìn)行一次，有 唯一的納什均衡 （降價(jià)，降價(jià)），其均衡結(jié)果為（ 2， 2）。 iSit isS?i?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 9 開環(huán)策略集和閉環(huán)策略集 關(guān)于開、閉環(huán)策略集的例子 設(shè)原博弈中， 若 T=2，則局中人 1的開環(huán)策略集為 ， 一共有 4個(gè)純策略。 顯然，對(duì) T次重復(fù)博弈，局中人 的開環(huán)策略集為 iSit isS?1TiitS??? ?ii《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 8 開環(huán)策略集和閉環(huán)策略集 閉環(huán)策略集 若局中人在 t 階段進(jìn)行行動(dòng)決策時(shí)，他知道該階段前其它局中人的行動(dòng)選擇，再在自己的原博弈行動(dòng)集 中選擇一個(gè)行動(dòng) ，這時(shí)他的策略稱為 閉環(huán)策略 ，全部閉環(huán)策略稱為 閉環(huán)策略集 。 ? 該定理的證明比較簡(jiǎn)單，只需驗(yàn)證它符合定義 定的子博弈完美納什均衡的條件就可以了。 ? 當(dāng) T是有限時(shí)稱 有限 重復(fù)博弈，當(dāng) T是無(wú)限時(shí)，稱為 無(wú)限重復(fù)博弈。 重復(fù)博弈的應(yīng)用 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 4167。 基本概念 167。 不完全信息的動(dòng)態(tài)博弈 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 3 167。 完全且完美信息動(dòng)態(tài)博弈 167。202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 博弈論及其應(yīng)用 第 3章 納什均衡的擴(kuò)展與精煉 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 2 第 3章 納什均衡的擴(kuò)展與精煉 ? 主要內(nèi)容： 167。 不完全信息的靜態(tài)博弈 167。 重復(fù)博弈 167。 重復(fù)博弈 167。 觸發(fā)策略 167。 基本概念 ※ 重復(fù)博弈 ※ 定理 一種子博弈完美納什均衡的求解方法 ※ 開環(huán)策略集和閉環(huán)策略集 ※ 例 價(jià)格重復(fù)博弈 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 5 定義 重復(fù)博弈 ? 設(shè) G是一個(gè)基本博弈（ G可以是靜態(tài)博弈，也可以是動(dòng)態(tài)博弈），重復(fù)進(jìn)行 T次， T可以是有限的，也可以是無(wú)限的，這樣的博弈稱為 重復(fù)博弈， 并記為 G（ T） ? G稱為 G（ T）的一個(gè) 原博弈， 每次原博弈稱為一個(gè) 階段博弈。 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 6定理 一種子博弈完美 納什均衡的求解方法 ? 定理 ：如果階段博弈 G有納什均衡，對(duì)任意有限或無(wú)限階段的 T，重復(fù)博弈 G（ T） 有子博弈完美納什均衡 ：即在 每一階段重復(fù)采用階段博弈 G的納什均衡。 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 7 開環(huán)策略集和閉環(huán)策略集 開環(huán)策略集 若局中人 在 t 階段進(jìn)行行動(dòng)決策時(shí)，不知道該階段前其它局中人的行為選擇，而又要在自己的原博弈行動(dòng)集 中選擇一個(gè)行動(dòng) ， 這時(shí)他的策略稱為 開環(huán)策略 ，全部開環(huán)策略稱為 開環(huán)策略集 。閉環(huán)策略集記為 這里閉環(huán)是指有 t1個(gè)前期的信息反饋。 類似地局中人 2也只有 4個(gè)純策略 圖右是局中人 1在 G（ T）中的閉環(huán)策略集有 8個(gè)策略 。若博弈進(jìn)行 無(wú)窮多次 ，則情況發(fā)生變化。而局中人 2也可以選擇與局中人 1同樣的策略。 例 價(jià)格戰(zhàn)重復(fù)博弈（續(xù)） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 12? 若局中人 1不改變 策略行為，他的總收益為： ? 當(dāng)局中人 1在第 t期 改變 策略，其總收益為： ? （ ） 例 價(jià)格戰(zhàn)重復(fù)博弈（續(xù)） 2 1 11 4 4 4 5 2 2t t t t? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?11???? 4 4 5 211????? ? ? ? ??? 13? ?2144 4 41? ? ? ?? ? ? ? ? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 13結(jié)論： ? 當(dāng)貼現(xiàn)率 時(shí)，局中人 1不愿單獨(dú)改變自己的策略； ? 當(dāng)貼現(xiàn)率 時(shí)，局中人 2也不愿單獨(dú)改變自己的策略； ? 因此，當(dāng) 時(shí)，上述策略組成的策略組合是一個(gè)均衡點(diǎn)。 ? 從該例中可以看出，在閉環(huán)策略下進(jìn)行策略選擇，每個(gè)階段的收益都會(huì)達(dá)到（ 4， 4），但（ 4， 4）并不是原博弈的納什均衡結(jié)果 。 觸發(fā)策略 ※ 無(wú)限重復(fù)博弈 ※ 有限重復(fù)博弈 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 15無(wú)限重復(fù)博弈 例 的啟示 ? 從例 ，若原博弈有某種行為組合 ，使得其納什均衡點(diǎn)對(duì)每一個(gè)局中人 都有 ，將會(huì)產(chǎn)生一種將行為組合 和納什均衡 相結(jié)合的行為組合序列。 s?i ( ) ( )ciiP s P s? ?s?cs《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 16無(wú)限重復(fù)博弈 定義 觸發(fā)策略 在重復(fù)博弈 G（ T）中，原博弈為 ， 是原博弈的納什均衡點(diǎn)，