【正文】 y x? ? ? ? ? ?? ? ?(25) NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 二、空間問題的平衡微分方程 Navier方程 : 矩陣形式： ? ?313136 610000 0 0 00 0 0xyxzyyzzzxxyx z yffy z xfz y x????????? ?????? ? ?????? ? ? ????????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????? ? ?????? ? ??? ????? ? ? ? ? ? ? ?3 6 6 1 3 1 3 10HP?? ? ? ???(26) (24) 00yxx zxxx y y zyyfx y zfx y z???? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?0yzxz z zfx y z?? ??? ?? ? ? ?? ? ?NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 二、空間問題的平衡微分方程 Navier方程 : 矩陣形式： ? ? ? ? ? ? ? ?3 6 6 1 3 1 3 10HP?? ? ? ??? (26) (24) 00yxx zxxx y y zyyfx y zfx y z???? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?0yzxz z zfx y z?? ??? ?? ? ? ?? ? ?平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當應力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是平衡的。 5 邊界條件 167。 3 幾何方程 167。 1 概述 167。 6 圣維南原理 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 第二章 彈性力學的基本理論 167。 4 物理方程 167。 2 平衡微分方程 167。 6 圣維南原理 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 第二章 彈性力學的基本理論 167。 4 物理方程 167。 2 平衡微分方程 167。NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 第二章 彈性力學的基本理論 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 第二章 彈性力學的基本理論 167。 1 概述 167。 3 幾何方程 167。 5 邊界條件 167。 1 概述 167。 3 幾何方程 167。 5 邊界條件 167。 1 概述 物理分量： 基本方法：取微元體 平衡條件 平衡微分方程 變形連續(xù) 幾何方程 物理條件 物理方程 （應力與外力） （應變與位移） （應力與應變） 邊界條件 x y z? ? ? x y y z zx???x y z? ? ? x y y z zx???u v w十五個 分量 ｝ NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 第二章 彈性力學的基本理論 167。 2 平衡微分方程 167。 4 物理方程 167。 6 圣維南原理 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 167。 平衡方程也反映了應力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。 1 概述 167。 3 幾何方程 167。 5 邊界條件 167。 3 幾何關(guān)系 （位移－－應變） 一、平面問題的幾何方程 dx A B C M dyuuu dxx?? ?vvv dyy???A1 M1 C1 B1 ??1AA?vv dxx???uu dyy???11xuu dx uM A M A uxM A dx x????? ??? ? ??y 方向上的位移為： x 方向上的位移為： uu dxx???vv dxx???1BB?x 方向上的位移為： y 方向上的位移為： uu dyy???vv dyy???線段 MA線應變： xy切應變： ? ? ???39。1M39。1M39。1M39。1M39。1Buv u dy uv dx v yxdx dy???? ???? ????NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 xyxyuxvyvuxy???????????????21313200xyxyxuvyyx??? ??????????????? ??????? ? ? ???? ???????? ??????????一、平面問題的幾何方程 幾何方程 (29) 矩陣形式： (210) ? ? ? ? ? ?3 1 2 132TH??????3個應變分量、三個方程。 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 316163000000000xyzyzzxxyxyuzvwzyzxyx?????????????????????? ????? ??????????? ???? ? ? ?? ??? ? ? ?????? ? ? ????????????????? ????????????????????二、空間問題的幾何方程 矩陣形式： (212) ? ? ? ? ? ?6 1 3 163TH??????NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 x y zxyyzzxu v wx y zvuxywvyzuwzx? ? ????? ? ?? ? ?? ? ???????????????????三、剛體位移 幾何方程（ Cauchy方程） (211) 分析幾何方程： 幾何方程反映了位移和應變之間的關(guān)系。 (why?next film) NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 三、剛體位移 (29) 平面問題 xyxyuvxyvuxy???????????????0x y x y? ? ?? ? ?令： ? ?? ?1200xyuu f yxvv f xy???? ? ???? ? ??? ? ? ?21 0xyd f x d f yvux y d x d y???? ? ? ? ???由此得： ? ? ? ?21d f x d f yd x d y ?? ? ? ：常數(shù) ?NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 三、剛體位移 所以： 由此得： 只能等于常數(shù) ? ?2d f xdx ??? ? ? ?21d f x d f yd x d y ?? ? ?? ?20f x x v???? ?1d f ydy ???? ?10f y y u?? ? ?— 任意常量 00uv00u u yv v x??????(213) 當應變?yōu)榱銜r：位移是剛體位移。 00uv ?、 、 取一點： k u v??xy ???平面問題 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 三、剛體位移 空間問題 剛體位移 — 任意常量 0 0 0u v w000yzzxxyu u z yv v x zw w y x??????? ? ?? ? ?? ? ?（ 2－ 14） 剛體位移是任意的， 的確定與問題的約束條件有關(guān)?？梢?，當物體發(fā)生一定的變形時，由于約束條件的不同，它可能具有不同的剛體位移，因而它的位移并不是完全確定的。 1 概述 167。 3 幾何方程 167。 5 邊界條件 167。 4 物理方程（虎克定律） 一、空間問題 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?111212121x x y zy y z xz z x yyzy z y zzxzx zxxyx y x yEEEGEGEGE? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ???????? ?????? ? ?????? ? ?????? ? ????????????物理方程反映應力分量與應變分量之間的關(guān)系。 (215) ? ?21 EG ?? ?其中 G：切變模量 NORTHEASTERN UNIVERSITY 彈性力學簡明教程 一、空間問題 矩陣形式： ? ?? ?? ?6 1 6 166100010001000210 0 0 0 0210 0 0 0 0210 0 0 0 0xxyyzzy z y zzx zxx y x yE E EE E EE E EEEE????????????????????????????? ? ? ???? ? ?