【正文】 δδδ?δ( ( , ) , ( , ) ) Tu x y v x y?d .該插值公式稱為單元的 位移模式 ,記為 e?d Νδ .單元分析的主要內(nèi)容： (2)應用幾何方程 ,由單元的位移函數(shù) d,求出 單元的應變 e?ε Bδ .(5)將每一單元中的各種外荷載 ,按虛功等效原則移置到結點上 ,化為 結點荷載 (. e??eL L i L j L mF F F F第六章 用有限單元法解平面問題 為已知值 , 是用結點位移表示的值。 取各結點位移 為基本未知量 ，然后對每個單元 ,分別求出各物理量 ,并均用 來表示。 1. 結構離散化 FEM的分析過程 (1) 第六章 用有限單元法解平面問題 求解方法 每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。 結構離散化 比如 ： 將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用 鉸 連接起來。 結構離散化 1. 結構離散化 FEM的分析過程 (1) 將連續(xù)體變換為離散化結構 (圖 (c))： 即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構成所謂 “ 離散化結構 ” 。如桁架，各單元(桿件 )之間除結點鉸結外，沒有其他聯(lián)系 (圖 (a))。 采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學模型上進行近似的數(shù)值計算方法。 167。 *,*δ ε其中， 在 FEM中用結點的平衡方程代替平衡微分方程 ,后者不再列出。 ( ) Txyff?f( ( , ) , ( , ) ) Tu x y v x y?d() Tx y x yε ε γ?ε。 61 基本量和基本方程的矩陣表示 本章無特別指明 ,均表示為 平面應力問題 的公式。 且一般都以平面應力問題來表示。 本章介紹平面問題的 FEM FEM的主要導出方法 應用靜力方法或變分方法導出。 ?FEM是上世紀中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應用的一種數(shù)值解法。 ?上世紀 60年代后 ,FEM應用于各種力學問題和非線性問題 ,并得到迅速發(fā)展。 ?上世紀 50年代 ,平面問題的 FEM建立 ,并應用于工程問題。 ?FEM是上世紀中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應用的一種數(shù)值解法。 (3)只要適當加密網(wǎng)格，就可以達到工程要求的精度。 簡稱 FEM， 是彈性力學的一種 近似解法。第六章 用有限單元法解平面問題 第五節(jié) 單元的結點力列陣與勁度矩陣 第四節(jié) 單元的應變列陣和應力列陣 第三節(jié) 單元的位移模式與解答的收斂性 第二節(jié) 有限單元法的概念 第一節(jié) 基本量及基本方程的矩陣表示 概述 第六節(jié) 荷載向結點移置 單元的結點荷載列陣 第六章 用有限單元法解平面問題 例題 第十一節(jié) 應用變分原理導出有限單元法的基本方程 第十節(jié) 計算實例 第九節(jié) 計算成果的整理 第八節(jié) 解題的具體步驟 單元的劃分 第七節(jié) 結構的整體分析結點平衡方程組 第六章 用有限單元法解平面問題 有限元法 （ Finite Element Method） FEM FEM的特點 概述 (1)具有 通用性和靈活性 。 首先將連續(xù)體變換為離散化結構，然后再利用分片插值技術與虛功原理或變分方法進行求解。 (2)對同一類問題 ,可以編制出 通用程序 ,應用計算機進行計算。 FEM簡史 ?1943年柯朗 (Currant)第一次提出了 FEM的概念。 第六章 用有限單元法解平面問題 簡史 ?1956年 ,特納 (Tunner)等人提出了 FEM。 ?1960年提出了 FEM的名稱。 FEM簡史 ?1943年柯朗 (Currant)第一次提出了 FEM的概念。 ?上世紀 70年代后 ,FEM被引入我國 ,并很快地得到應用和發(fā)展。 僅敘述按位移求解的方法。 第六章 用有限單元法解平面問題 167。 采用 矩陣表示 ,可使公式統(tǒng)一、簡潔 ,且便于編制程序。Txyyx τσσ )(?ζ() Ti i j ju v u v?δ() Ti x i y j x j yF F F F?F基本物理量的矩陣表示 ( ) Txyff?f體力 : 位移函數(shù) : 應變 : 應力 : 結點位移列陣 : 結點力列陣 : 面力 : 基本物理量 第六章 用有限單元法解平面問題 (2)物理方程 : ( b )?ζ D ε? ?2101 0 ( c )10 0 1 / 2μEμμμ?????? ?????D FEM中應用的方程 ( a )Tu v u vx y x y??? ? ? ?????? ? ? ???ε(1)幾何方程 : 應用的方程 其中 ,D為彈性矩陣 ,對于平面應力問題是 : (3)虛功方程 : ( ) ( )TTA d x d y t? ??**δ F ε ζ為結點虛位移及對應的虛應變。 第六章 用有限單元法解平面問題 (3)整體分析 。 62 有限單元法的概念 FEM的概念 ，可以簡述為： FEM的概念 (1)將連續(xù)體變換為離散化結構 (結構的離散化 )； (2)單元分析； FEM的分析過程： 該方法的理論基礎是 分片插值技術 與 變分原理 。 第六章 用有限單元法解平面問題 結構力學研究的對象 是 離散化結構 。 彈力研究的對象 ，是 連續(xù)體 (圖 (b))。 (c) 深 梁（離散化結構）第六章 用有限單元法解平面問題 圖 (c)與圖 (a)相比 ,兩者都是離散化結構；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖 (c)的單元是三角形塊體（注意 :三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。 (c) 深 梁（離散化結構） 將連續(xù)體變換為離散化結構 (圖 (c))： 即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構成所謂 “ 離散化結構 ” 。因單元內(nèi) 部仍是連續(xù)體，應按彈性力學方法進行分析。 ( ) ( 1 , 2 , )Tii iu v i??δFEM的分析過程 (2) ( 1, 2 , )i i ?δ(1)應用插值公式 , 由單元結點位移 , 求單元的位移函數(shù) Tmjie )( δδδ?δ( ( , ) , ( , ) ) Tu x y v x y?d .該插值公式稱為單元的 位移模式 ,記為 e?d Νδ .單元分析的主要內(nèi)容： (2)應用幾何方程 ,由單元的位移函數(shù) d,求出 單元的應變 e?ε Bδ .第六章 用有限單元法解平面問題 求解方法 (4)應用虛功方程 ,由單元的應力 ,求出 單元的結點力 表示為 (3)應用物理方程 ,由單元的應變 ,求出 單元的應力 .e?ζ Sδεζ(eei j m? ? ?F F F F k δ . 其中， 為結點對單元的作用力，作用于單元，稱為結點力，以正標向為正。 各單位移置到 i 結點上的結點荷載 iF求解方法 LiF ,iF?,FLi),2,1(, ??? ?? ieLiei FF?e各單元對 i 結點的結點力 作用于結點 i上的力有： FEM的分析過程 (3) 其中 , 表示對圍繞 i 結點的單元求和； 通過求解聯(lián)立方程，得出各結點位移值，從而求出各單元的應變和應力。 （ 3）單元的應力列陣 第六章 用有限單元法解平面問題 思考題 ？ 。 首先 ,必須解決 由 單元的結點位移