【正文】 大學(xué)信于與控制學(xué)院 25 綜上所述：如果序列 x(n)的 DFT為 X(k)，則 x(n)的實(shí)部和虛部（包括 j）的 DFT分別為 X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而 x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的 DFT分別為 X(k)的實(shí)部和虛部乘以 j。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 21 ? 作為習(xí)題請讀者證明頻域卷積定理 ? 如果 x(n)=x1(n) 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 19 圖 38 循環(huán)卷積過程示意圖 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 20 ? 由于循環(huán)卷積過程中，要求對 x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)，循環(huán)移位，特別是兩個(gè) N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為 N。39。(( knNN Wnx10),()())39。因此 39。(()())39。)39。39。X2(k) ? 則 ? ?????1021 )())(()()]([I D F T)(NmNN nRmnxmxkXnx339 或 ? ?????1012 )())(()()]([I D F T)(NmNN nRmnxmxkXnx一般稱 (339)式所表示的運(yùn)算為和的循環(huán)卷積。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 16 ? 有限長序列 x1(n)和 x2(n)，長度分別為 N1和 N2，N=max[N1， N2]。1039。(( knNN Wnx)())39。(()(knNmNmnNkmNmnkNmNmnNWnxWWnxkY????????????39。))39。)39。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得 39。觀察圖 37可見，循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將x(n)左移 m位，而左側(cè)移出主值區(qū)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。 x(n)及其循環(huán)移位過程如圖 37所示。若 )()()( 21 nbxnaxny ??式中 a， b為任意常數(shù)，取 N=max[N1,N2]，則的 N點(diǎn)DFT為 10),()()]([)( 21 ?????? NkkbXkaXnyD F TkY335 其中 X1(k)和 X2(k)分別為 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT。 離散傅里葉變換記作 DFT， IDFT為逆變換。 x(n)與 X(k)是一個(gè)有限長序列的離散傅里葉變換對。因而從數(shù)字計(jì)算角度出發(fā)，我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況，這就是我們這里要研究的離散傅里葉變換?？梢钥闯?，時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)相對應(yīng)。 ? ??? ???? dtetxjX tj)()(? ??? ? ??? dejXtx tj)(2 1)( ?31 32 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 5 圖 31 連續(xù)的非周期信號及其非周期、連續(xù)的頻譜密度 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 6 連續(xù)時(shí)間、離散頻率 —— 傅里葉級數(shù) ? 設(shè) x(t)代表一個(gè)周期為 T0的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)，可展成傅里葉級數(shù)，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 X(jkΩ0)，是離散頻率的非周期函數(shù)，和 X(jkΩ0)組成變換對，表示為 ?? ???? 2/ 2/00000)(1)(TTtjk dtetxTjkXtjkkejkXtx 0)()( 0 ?????? ??其中 Ω0=2πF=2π/T0為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔， k為諧波序號。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 4 在“信號與系統(tǒng)”課的內(nèi)容中，已知這一變換對為 ? 這一變換對的示意圖 (這里只說明關(guān)系，并不表示實(shí)際的變換對 )見圖 31。所以，當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)或離散值時(shí)，就形成各種不同形式的傅里葉變換對。離散傅里葉變換 (Discrete Fourier Transform，簡稱 DFT)是數(shù)字信號處理中非常重要的一種數(shù)學(xué)變換，本章主要討論 DFT的定義、物理意義及基本性質(zhì)、頻率采樣和 DFT應(yīng)用舉例。主要內(nèi)容包括： ?周期序列的離散傅里葉級數(shù)定義及其性質(zhì) ?有限長度序列的離散傅里葉變換推導(dǎo) ?離散傅里葉變換的基本性質(zhì) ?頻率域采樣理論 ?離散傅里葉變換的基本應(yīng)用 第 3章 離散傅里葉變換 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 2 ? 離散傅里葉變換的定義 ? 離散傅里葉變換的性質(zhì) ? 頻率域采樣 ? DFT的應(yīng)用舉例 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 3 離散傅里葉變換定義 ? ? 傅里葉變換就是建立以時(shí)間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜函數(shù)”之間的某種變換關(guān)系。 ? 連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率 —— 傅里葉變換 ? 就是連續(xù)時(shí)間非周期信號 x(t)的傅里葉變換關(guān)系 ,所得到的是連續(xù)的非周期的頻譜函數(shù)。可以看出時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時(shí)域的非周期性造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。 33 34 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 7 圖 32 連續(xù)的周期信號及其非周期離散譜線 ? 這一變換對的示意圖如圖 32所示。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 8 離散時(shí)間、連續(xù)頻率 —— 序列的傅里葉變換 ? 這正是第二章中討論過的序列（離散時(shí)間信號）的傅里葉變換，即 ???????nnjj enxeX ?? )()(??? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)(35 36 上面討論的三種傅里葉變換對都不適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，因?yàn)樗鼈冎辽僭谝粋€(gè)域 (時(shí)域或頻域 )中函數(shù)是連續(xù)的。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 9 離散傅立葉變換 — 有限長序列的離散頻域表示 ? 離散傅里葉變換的定義 ? 設(shè) x(n)是一個(gè)長度為 N的有限長序列， 則定義 x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為 10,)()]([D F T)(10????? ???NkWnxnxkXNnnkN? ??? ?????1010,)(1)]([I D F T)(NkknN NnWkXNkXnx331 332 (331)和 (332)分別是有限長序列的離散傅里葉正變換和反變換。已知其中的一個(gè)序列，就能唯一確定另一序列。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 10 離散傅里葉變換的性質(zhì) ? ? 如果和是兩個(gè)有限長序列，長度分別為 N1和 N2。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 11 ? 序列的循環(huán)移位 ? 設(shè)為 x(n)有限長序列，長度為 N，則的循環(huán)移位定義為 )())(()( nRmnxny NN??336 式 (336)表明，將 x(n)以 N為周期進(jìn)行周期延拓得到 再將 左移 m位得到 ，最后取 的主值序列，則得到有限長序列的循環(huán)移位序列 y(n)。顯然 y(n)仍是長度為N有限長序列。 Nnxnx ))(()(~ ?)(~ nx)(~ mnx ? )(~ mnx ?2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 12 圖 37 循環(huán)移位過程示意圖 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 13 時(shí)域循環(huán)移位定理 ? 設(shè) x(n)是長度為 N的有限序列， y(n)為 x(n)的循環(huán)移位，即 )())(()( nRmnxny NN??則 )()]([D F T)( kXWnykY kmN???337 其中 10)],([D F T)( ???? NknxkX證明： knNNnNknNNnNNWmnxWnRmnxnykY???????????1010))(()())(()]([D F T)(2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 14 令 n+m=n’，則有 ? 由于上式中求和項(xiàng) 以 N為周期，所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。139。(139。(())39。))39。(()( 39。kXWWnxWkYkmNknNNnNkmN?????? ?2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 15 頻域循環(huán)移位定理 ? 如果 X(k)=DFT[x(n)]， 0≤k≤N1 ? Y(k)=X((k+l))NRN(k) ? 則 338 )()]([I D F T)( nxWk