電大復變函數形成性考核冊參考答案(1)-展示頁
2025-06-17 17:57本頁面
【正文】 =y2+? (x) ∴ Vx= ∴ ? (x)= V=y2x2+2x+c(c 為常數 ) ∴ f(z)=2(x1)y+i(y2x2+2x+c) 為使 f(z)=i,當 x=2 y=0 時 ,f(2)=ci=i ∴ c=1 ∴ f(z)=2(x1)y+i(y2x2+2x1) =(z1)2i 四、證明題 試在復平面討論 f(z)=iz 的解析性。 ∴ f(z)=iz 在復 平面解析。 證：設 f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈ G ∵ f(z)在 G內解析， Ux=Vy, Uy=Vx ? ydy2 zxuyx ?????? 2)(?? ?????? cxxdxx 2)22( 2 又 f? （ z） =0, f? （ z） =Ux+iVx Ux=0 Vx=0 Uy=Vx=0 Ux=Vy=0 U 為實常數 C1， V 也為實常數 C2， f(z)=C1+iC2=Z0 f(z)在 G 內為常數。 cosz 2. 證明 : xnxxnnxxx 2s i n2s i n21s i ns i n2s i ns i n ?????? ?. 證明 : 令 A= nxxx c o s2c o sc o s1 ???? ? B=sinx+sin2x+… sinnx ∴ in xxiix eeeBiA ?????? ?21 22)1(121111xiizixxniexneee??????? ? xnixixniexxnexixeni22212s i n21s i n2s i n221s i n2??????? = )2s in2( c o s2s in21s inxnixnxxn?? ∴ xnxxnxxx 2s i n2s i n21s i ns i n2s i ns i n????? ? 第 4 章 解析函數的積分理論 一、單項選擇題 1. ??c dz2 ( D ) , c 為起點在 0 , 終點在 1+i 的直線段 . (A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2. ?? ?1 )(sinz Azdz . (A) 0 (B) 10 i? (C) i (D) 123?i 3. ?? ?5 )(5z Bdzz (A) i (B) 10 i? (C) 10i (D) 0 4. ?? ?3 2)23(sin2z zz=( A ). (A) 23cos4 ?i? (B) i?4 (C) i?2 (D) i?2? 二、填空題 1. 若 )(zf 與 )(xg 沿曲線 c 可積，則 ? ?? ??? c cc dzzgdzzfdzzgzf )()()]()([ . 2. 設 L 為曲線 c 的長度 , 若 f(z)沿 c 可積 , 且在 c 上滿足 Mzf ?)( ,則 MLdzzfc ?? )( . 3. ? ?1 77i zdz 4. eezdzi i ??? ?0 1c os2 三、計算題 ?c zdzIm ,其中 c為自 0 到 2+i 的直線段 . 解 : c 的方程為 : )10()()( ????? ttiztzz 其次由 titzzyix )2()( ????? 得 tz?Im dtidttzdz )2()( ???? ∴ ? ? ??c tdtizdz 10 )2(Im = ?? 10)2( tdti = i211? 2. 計算積分 ?? ???1 2 12102sinzz dzzz ze . 解 : ?? ???1 2 12102sinzz dzzz ze = ?? ???1 )3)(2(2 sinzz dzzz ze 作區(qū)域 D: 1?z 積分途徑在 D內被積函數的奇點 Z=2與 Z=3 均不在 D內 ,所以被積函數在 D 內解析 . 由定理 : ?? ???1 2 12102 sinz z dzzz ze =0 3. 計算積分 ? ???c zcdzzz 41:,)1)(1( 1 32 . 解 : ? ??c dzzz )1)(1( 1 32 ∵ 奇點 z=1和 z=1 不在區(qū)域 D, 1?z 內 013 ??z 的三個根 2,1,0,32 ?? kez ikk ? 也不在 D內 ∴ 由定理 得 ? ??c dzzz )1)(1( 1 32 =0 4. 計算積分 ?czdzze5 , 5: ?zc . 解 : 由定理 得 0)4(5 ])[(!42 ??? zzcz eidzze ? ? 12i? 四、證明題 1. 計算積分 ?? ?1 21z dzz ，并由此證明 0c os45 c os210 ???? ??? dn . 證明：∵ 21)( ?? zzf 在圓域 |z|≤ 1 內解析 ∴ ?? ?1 21z dzz = ?? ??1 021z dzz 另一方面 ,在圓 |z|= )2)(s in( c o s1 ???? ??? zi ∴ ?? ?1 21z dzz =?? ????? ???? )s i n(c os2s i nc os 1 id(實部和虛部為 0) =? ?? ? ???? ??????? ???? ?? ????? ??????? ?? dii iicdi ]s i n)c os2][(s i n)c os2[( ]s i n)c os2[(c oss i n2s i nc os c oss i n = ???? ???? di?? ??? ??? s inc osc os44 )1c os2(s in2 = dzi?? ? ????? ? ?? c os45 )c os21(s in2 = ?????? ???? did ?? ?? ????? c os45 c os21c os45 s i n2 ∵ ?? ?1 21z dzz =0 ∴ 0c os45 sin2 ????? ????? d ∴ 0c os45 c os21 ????? ????? d 而 ??cos45 cos21?? 為偶函數 ∴ 0= ????? d?? ?? cos45 cos21 = ???? d? ??0 cos45 cos212 ∴ 0c os45 c os210 ???? ???? d 復變函數課程作業(yè)參考解答 3 第 5 章 解析函數的冪級數表示 一、單項選擇題 1. 冪級數 ???0n nz 的收斂半徑等于 ( B ) ( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 點 z=1是 f(z)= 5105 2 ?? zz r ( B )級零點 . ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3
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