【正文】 ?? (17) (18) )]1([)1()()()(10????????? ???NnnnmnnRNmN ???? ?4．實(shí)指數(shù)序列 )()( nuanx n?式中 ， a為實(shí)數(shù) 。它很類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù) u(t)。 而離散時(shí)間系統(tǒng)中的 δ(n)， 卻完全是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的序列 ， 它的脈沖幅度是 1， 是一個(gè)有限值 。 (11) 圖 14 δ(n)序列 1?? ( n )－ 4－ 5 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5 n… … 這是最常用 、 最重要的一種序列 ， 它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用 ， 很類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù) δ(t)。 1． 單位脈沖序列 δ(n) ????????0001)(nnn? 這個(gè)序列只在 n=0 處有一個(gè)單位值 1， 其余點(diǎn)上皆為 0， 因此也稱為單位采樣 “ 序列 ” 。 （ 3） 相乘：再將 h(nm)和 x(m)的相同 m值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值相乘 。 當(dāng) n為正整數(shù)時(shí) ， 右移 n位 。 ( ) ( ) , ( ) ( )x n h n x n h n設(shè)兩序列為 和 則 和 的卷積和定義為 （ 1） 翻褶：先在啞變量坐標(biāo) m上作出 x(m)和 h(m)， 將 h(m)以m=0 的垂直軸為對(duì)稱軸翻褶成 h(m)。卷積和 ?????????mnhnxmnhmxny )()()()()( 正如卷積積分是求連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的主要方法。 差分運(yùn)算 前向差分 Δx(n)=x(n+1)x(n) 后向差分 ▽ x(n)=x(n)x(n1) 由此得出 ▽ x(n)=Δx(n1) 序列的時(shí)間尺度 (比例 )變換 ( ) ( ) ( )nw n x m n xm? 或,其中 m為正整數(shù) 例如m = 2 的x ( 2 n ) 。 乘積序列 f(n)可表示為 )()()( nynxnf ? 序列的標(biāo)乘 序列 x(n)的標(biāo)乘是指 x(n)的每個(gè)序列值乘以常數(shù) c。 圖 12 圖 11序列 x(n)的延時(shí) n87654320 1－ 1－ 2－ 3－ 5－ 4w ( n ) ＝ x ( n － 2 )－ 5 － 4x ( － 5)x ( － 4)x ( － 3)－ 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5 6 nx (4)x (5) x (6)x (3)x (2)x (1)x (0)x ( n )x ( － 2)x ( － 1) 序列的翻褶 圖 13 (a) x(n)序列； (b) x(n)序列 nnx ( n )－ 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5x ( － n )－ 5 － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5 6( a ) ( b ) 序列的和 兩序列的和是指同序號(hào) n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成的一個(gè)新序列。 當(dāng) m為負(fù)時(shí) ， x(nm)是指依次超前（ 左移 ） m位 。 例如 ， 對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào) xa(t)， 以每秒 fs=1/T個(gè)采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號(hào) ， 它與 xa(t)的關(guān)系如下： )()( nTxnx a?二可以認(rèn)為是自然產(chǎn)生的離散時(shí)間序列 ， 如每日股票市場(chǎng)價(jià)格 、 人口統(tǒng)計(jì)數(shù)和倉(cāng)庫(kù)存量等 。 盡管獨(dú)立變量 n不一定表示 “ 時(shí)間 ” （ 例如 ， n可以表示溫度或距離 ） ， 但 x(n)一般被認(rèn)為是時(shí)間的函數(shù) 。第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 離散時(shí)間信號(hào) —— 序列 線性時(shí)不變系統(tǒng) 常系數(shù)線性差分方程 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣 離散時(shí)間信號(hào) —— 序列 一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)是一個(gè)整數(shù)值變量 n的函數(shù) ， 表示為 x(n)或 {x(n)}。 它既可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù) 。 { ( ) } {.. ., 0 .9 5 , 0 .2 , 2 .1 , 1 .1 , 0 .5 6 , 3 .1 , 0 .8 , . ..}xn ?? ? ?圖 11 離散時(shí)間信號(hào) x(n)的圖形表示 － 5 － 4x ( － 5)x ( － 4)x ( － 3)－ 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5 6 nx (4)x (5) x (6)x (3)x (2)x (1)x (0)x ( n )x ( － 2)x ( － 1) 離散時(shí)間信號(hào)的獲取方法： 一可以對(duì)模擬信號(hào) (如語(yǔ)音 )進(jìn)行等間隔抽樣而得到 。 序列的運(yùn)算 序列的移位 )()( mnxnw ?? 當(dāng) m為正時(shí) ， 則 x(nm)是指序列 x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí) （ 右移 ）m位而給出的一個(gè)新序列 。 圖 12顯示了 x(n)序列的延時(shí)序列 w(n)=x(n2), 即m=2時(shí)的情況 。 和序列 z(n)可表示為 )()()( nynxnz ?? 序列的乘積 兩序列相乘是指同序號(hào) n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。標(biāo)乘序列 f(n)可表示為 )()( ncxnf ? 累 加 ?????nkkxny )()(它表示 y(n)在某一個(gè) n0上的值 y(n0)等于在這一個(gè) n0上的 x(n0)值與n0以前所有 n上的 x(n)之和 。x ( 2 n ) 不是x ( n ) 序列簡(jiǎn)單地在時(shí)間軸上按比例增一倍，而是以低一倍的抽樣頻率從x ( n ) 中每隔2 點(diǎn)取1 點(diǎn)。對(duì)離散系統(tǒng)“卷積和”也是求離散線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的主要方法。 （ 2） 移位：將 h(m)移位 n， 即得 h(nm)。 當(dāng) n為負(fù)整數(shù)時(shí) ， 左移 n位 。 （ 4） 相加：把以上所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的乘積累加起來(lái)， 即得 y(n)值。 單位采樣序列如圖 14所示 。 但是 ， 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中 ， δ(t)是 t=0 點(diǎn)脈寬趨于零 ， 幅值趨于無(wú)限大 ， 面積為 1的信號(hào) ， 是極限概念的信號(hào) ， 并非任何現(xiàn)實(shí)的信號(hào) 。 2． 單位階躍序列 u(n) ????????0001)(nnnu 如圖 15 所示。 (12) 圖 15 u(n)序列 － 5 － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 5 nu ( n )…16δ(n)和 u(n)間的關(guān)系為 )1()()( ??? nunun?????????? ???)2()1()()()(0nnnmnnum????令 nm=k，代入此式可得 ?????nkknu )()( ?(13) (14) (15) 3．矩形序列 RN(n) ????? ????nNnnR N其他0101)( (16) 矩形序列 RN(n)如圖 16所示。 當(dāng) |a|1 時(shí) ， 序列是收斂的 。 a為負(fù)數(shù)時(shí) ， 序列是擺動(dòng)的 ， 如圖 17所示 。 (b) |a|1。 υ為起始相位 。 ω0= , x(n)序列如圖 18所示 ， 該序列值每 20個(gè)重復(fù)一次循環(huán) 。 復(fù)指數(shù)序列的每個(gè)值具有實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。 對(duì)第一種表示，序列的實(shí)部、虛部分別為 njAnAnjnAnx 0000 s i nc o s)s i n( c o s)( ???? ????如果用極坐標(biāo)表示，則 njnxj Aeenxnx 0)](a r g [|)(|)( ???因此有： nnxAnx0)](a rg [|)(|??? 序列的周期性 如果對(duì)所有 n存在一個(gè)最小的正整數(shù) N，滿足 )()( Nnxnx ?? (112) 則稱序列 x(n)是周期性序列，周期為 N。 由于 )s i n ()( 0 ?? ?? nAnx則 )s i n (])[ s i n ()( 000 ????? ??????? nNANnANnx若 Nω0=2πk, 當(dāng) k為正整數(shù)時(shí)，則 )()( Nnxnx ?? 這時(shí)的正弦序列就是周期性序列 ， 其周期滿足 N=2πk/ω0（ N， k必須為整數(shù) ） 。 （ 1） 當(dāng) 2π/ω0為正整數(shù)時(shí)，周期為 2π/ω0，見圖 18。 NkkNk ??02?? （ 3） 當(dāng) 2π/ω0是無(wú)理數(shù)時(shí) ， 則任何 k皆不能使 N取正整數(shù) 。 這和連續(xù)信號(hào)是不一樣的 。 如果一個(gè)正弦型序列是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)采樣而得到的 ， 那么 ， 采樣時(shí)間間隔 T和連續(xù)正弦信號(hào)的周期之間應(yīng)該是什么關(guān)系才能使所得到的采樣序列仍然是周期序列呢 ？ 設(shè)連續(xù)正弦信號(hào) xa(t)為 )s i n ()( 0 ???? tAtx a這一信號(hào)的頻率為 f0 ， 角頻率 Ω0=2πf0 ， 信號(hào)的周期為T0=1/f0=2π/Ω0。 可以看出 ， ω0是一個(gè)相對(duì)頻率 ， 它是連續(xù)正弦信號(hào)的頻率 f0對(duì)采樣頻率 fs的相對(duì)頻率乘以 2π， 或說是連續(xù)正弦信號(hào)的角頻率 Ω0對(duì)采樣頻率 fs的相對(duì)頻率 。 下面我們來(lái)看 2π/ω0與 T及 T0的關(guān)系 ， 從而討論上面所述正弦型序列的周期性的條件意味著什么 ？ TTTfTfT000001212122 ??????? ?????這表明 ， 若要 2π/ω0為整數(shù) ， 就表示連續(xù)正弦信號(hào)的周期 T0應(yīng)為采樣時(shí)間間隔 T的整數(shù)倍；若要 2π/ω0為有理數(shù) ， 就表示 T0與 T是互為互素的整數(shù) ， 且有 TTkN 002 ???? (113) 式中， k和 N皆為正整數(shù)，從而有 0kTNT ?即 N個(gè)采樣間隔應(yīng)等于 k個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)的周期。 周期 N總是整數(shù)。 例：若 F=，那么 x(n)=cos(2 πFn)是否具有周期性？若 F= 呢？如果是周期的，那么它的周期 N是多少？ 3解：若 F=，因?yàn)?F==32/100=8/25=k/N，所以 x(n)具有周期性，它的周期 N=25； 若 F= ，因?yàn)?F是一個(gè)無(wú)理數(shù)，不能表示為整數(shù)的比率，所以它不具有周期性。 設(shè) {x(m)}是一個(gè)序列值的集合 ， 其中的任意一個(gè)值 x(n)可以表示成單位采樣序列的移位加權(quán)和 ， 即 )()()( mnmxnxm?? ??????(114) 由于 ?????????nmnmmn01)(?則 ????? ???mnmnxmnmx其他0)()()( ?因此，式（ 114）成立，這種表達(dá)式提供了一種信號(hào)分析工具。 若以 T［ 圖 121 離散時(shí)間系統(tǒng) T [ ]x ( n ) y ( n ) 如果系統(tǒng)在 x１ (n)和 x2(n)單獨(dú)輸入時(shí)的輸出分別為 y1(n)和 y2(n) 即 : )]([)()]([)(2211nxTnynxTny??那么當(dāng)且僅當(dāng)上兩式都成立時(shí)，該系統(tǒng)是線性的 . 和 )()]([)]([ naynxaTnaxT ??式中 ,a為任意常數(shù) 。 這兩個(gè)性質(zhì)合在一起就成為 疊加原理 ， 寫成 )()()]([)]([)]()([ 221122112211 nyanyanxTanxTanxanxaT ?????式中對(duì)任意常數(shù) a1和 a2都成立 。 )()()]([)]([)]()([ 212121 nynynxTnxTnxnxT ?????例 11 以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)： y(n)=2x(n)+3 很容易證明這個(gè)系統(tǒng)不是線性的， 因?yàn)榇讼到y(tǒng)不滿足疊加原理。 同樣可以證明， 2( ) ( ) ( ) ( ) s in97my n x m y n x n n???? ? ???? ? ??????和 都是線性系統(tǒng) 時(shí)不變系統(tǒng) 若系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān) ， 則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng) （ 或稱移不變系統(tǒng) ） 。 例 12 證明 ?????? ??792s i n)()( ?? nnxny????????